آشنایی با اصلهای بنیادی احتمال
اصل اول احتمال: مرزهای شانس
اصل اول احتمال به ما میگوید که احتمال هر پیشامد A، که با نماد $P(A)$ نشان داده میشود، همیشه یک عدد حقیقی بین 0 و 1 است. به عبارت دیگر:
این یعنی هیچ رویدادی نمیتواند شانس کمتر از غیرممطلق بودن (عدد منفی) یا بیشتر از قطعی بودن (عدد بزرگتر از یک) داشته باشد.
اصل دوم احتمال: یقین در فضای نمونه
اصل دوم احتمال میگوید که احتمال فضای نمونه S (مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی) همواره برابر با 1 است. این بدیهیترین اصل است، زیرا فضای نمونه شامل همهی حالتهایی است که ممکن است رخ دهد، پس وقوع آن قطعی است.
برای درک بهتر، یک کیف را در نظر بگیرید که فقط سه مهره دارد: قرمز، آبی و سبز. اگر یک مهره به تصادف بیرون بکشیم، فضای نمونهی ما $ \{ \text{قرمز}, \text{آبی}, \text{سبز} \} $ است. بیرون آمدن هر رنگی که باشد، حتماً یکی از این سه رنگ است، بنابراین احتمال این که مهرهای که بیرون میآید یکی از این سه رنگ باشد، برابر 1 است.
مقایسه دو اصل در یک نگاه
| ویژگی | اصل اول احتمال | اصل دوم احتمال |
|---|---|---|
| بیان ریاضی | $0 \le P(A) \le 1$ | $P(S) = 1$ |
| توضیح مفهومی | احتمال هر رویداد منفرد در محدودهای معقول قرار دارد. | مجموع احتمال همهی نتایج ممکن، برابر با یقین (یک) است. |
| مثال (تاس) | $P(4) = \frac{1}{6}$ (بین 0 و 1) | $P(\{1,2,3,4,5,6\}) = 1$ |
| نتیجه در حالتهای حدی | $P(A)=0$ (غیرممکن) و $P(A)=1$ (قطعی) | همیشه قطعی است. |
کاربرد روزمره: از سکه تا پیشبینی هوا
این دو اصل در زندگی روزمره کاربردهای فراوانی دارند. فرض کنید هواشناسی احتمال بارش باران برای فردا را 70% اعلام کرده است. این عدد بر اساس اصل اول، بین صفر و یک است (یعنی 0.7). اما طبق اصل دوم، مجموع احتمال بارش و عدم بارش باید برابر یک باشد. یعنی اگر احتمال بارش 0.7 باشد، احتمال عدم بارش 0.3 خواهد بود، چون این دو حالت، کل فضای نمونه (همهی حالتهای ممکن برای وضع هوا از نظر بارش) را تشکیل میدهند.
یک مثال دیگر: در یک بازی شانس، اگر $ \frac{1}{4} $ شانس برنده شدن و $ \frac{1}{3} $ شانس باختن داشته باشید، احتمال مساوی شدن بازی یا هر نتیجهی دیگر (اگر وجود داشته باشد) باید بهگونهای باشد که مجموع همهی احتمالات به یک برسد.
چالشهای مفهومی
آیا میتوان احتمال یک رویداد را 1.2 در نظر گرفت؟
خیر، طبق اصل اول احتمال، مقدار هر پیشامد باید بین صفر و یک باشد. عدد 1.2 از یک بزرگتر است و به این معناست که آن رویداد بیش از قطعی بودن، محتمل است که مفهومی ندارد. احتمال همیشه در بازهی بستهی $[0,1]$ تعریف میشود.
اگر در پرتاب یک سکه، احتمال رو آمدن 0.4 باشد، احتمال پشت آمدن چقدر است؟ آیا این با اصل دوم سازگار است؟
در پرتاب سکه، فضای نمونه فقط دو حالت رو و پشت دارد. طبق اصل دوم، $P(\text{رو}) + P(\text{پشت}) = 1$. بنابراین اگر احتمال رو 0.4 باشد، احتمال پشت باید 0.6 باشد. این اعداد هر دو بین صفر و یک هستند و مجموعشان یک میشود، پس با هر دو اصل سازگار است.
آیا میتوان یک آزمایش تصادفی داشت که در آن مجموع احتمالات همهی پیشامدهای ممکن کمتر از یک شود؟
نه، این غیرممکن است. اصل دوم احتمال به صراحت میگوید احتمال فضای نمونه (که شامل همهی پیشامدهای ممکن است) دقیقاً برابر یک است. اگر مجموعهای از پیشامدها، همهی فضای نمونه را پوشش ندهند، مجموع احتمالات آنها میتواند کمتر از یک باشد، اما فضای نمونه بهعنوان یک کل، همواره احتمال یک دارد.
دو اصل اول احتمال، چارچوب اصلی برای محاسبه و تفسیر شانس را تشکیل میدهند. اصل اول با محدود کردن احتمال هر رویداد به بازهی بین صفر و یک، از بروز اعداد نامعقول جلوگیری میکند. اصل دوم نیز با ثابت نگه داشتن احتمال فضای نمونه روی عدد یک، تضمین میکند که مجموع احتمال همهی حالتهای ممکن، کامل و بینقص است. این دو قانون ساده، پایهگذار تمام قوانین پیچیدهتر احتمال هستند و درک آنها برای هرگونه تحلیل آماری ضروری است.
پاورقی
1 پیشامد (Event): مجموعهای از برخی نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی. برای مثال، در پرتاب تاس، «آمدن عدد زوج» یک پیشامد است.
2 فضای نمونه (Sample Space): مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی که با نماد S نشان داده میشود. برای یک تاس، فضای نمونه $ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $ است.
3 احتمال (Probability): اندازهگیری عددی شانس وقوع یک پیشامد که بین صفر و یک قرار دارد.
