تشخیص تابع از روی زوجهای مرتب
تابع چیست؟ نگاهی به مفهوم زوجمرتب
در ریاضیات، تابع یک رابطهٔ ویژه بین دو مجموعه است. این رابطه به هر عضو از مجموعهٔ اول (که دامنه1 نام دارد) دقیقاً یک عضو از مجموعهٔ دوم (که برد2 نام دارد) را نسبت میدهد. سادهترین راه برای نمایش یک رابطه، استفاده از زوجمرتبهاست. هر زوجمرتب مانند $ (x , y)$ نشان میدهد که عضو $x$ از دامنه به عضو $y$ از برد متصل شده است.
برای تشخیص تابع بودن یک مجموعه از زوجمرتبها، تنها یک قانون ساده و طلایی وجود دارد: «در یک تابع، هیچ دو زوجمرتب متمایزی نمیتوانند مؤلفهٔ اول یکسان و مؤلفهٔ دوم متفاوت داشته باشند.» به عبارت دیگر، هر ورودی (مؤلفه اول) تنها میتواند یک خروجی (مؤلفه دوم) داشته باشد.
آموزش گامبهگام با مثالهای متنوع
بیایید با چند مثال، تشخیص تابع بودن را تمرین کنیم. فرض کنید رابطه $R_1$ به صورت مجموعهای از زوجمرتبها داده شده است:
$R_1 = \{(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)\}$
در این رابطه، همهٔ مؤلفههای اول (1، 3، 5 و 7) با هم متفاوت هستند. بنابراین، هیچ دو زوجی وجود ندارد که مؤلفه اول یکسان داشته باشند. پس $R_1$ یک تابع است.
حال رابطه $R_2$ را در نظر بگیرید:
$R_2 = \{(1, 2), (1, 4), (3, 5), (4, 6)\}$
در اینجا دو زوجمرتب $(1, 2)$ و $(1, 4)$ را داریم. مؤلفهٔ اول هر دو $1$ است، اما مؤلفههای دوم آنها متفاوت ($2$ و $4$) هستند. این دقیقاً همان چیزی است که در قانون طلایی گفته شد: مؤلفه اول یکسان و دوم متفاوت. پس $R_2$ یک تابع نیست.
تشخیص سریع با استفاده از جدول
برای مجموعههای بزرگتر از زوجمرتبها، میتوانیم دادهها را در جدول مرتب کنیم. این کار تشخیص الگوها را آسانتر میکند. به جدول زیر نگاه کنید که دو رابطه $R_A$ و $R_B$ را نشان میدهد.
| رابطه | زوجمرتبها | تکرار مؤلفه اول | نتیجه |
|---|---|---|---|
| $R_A$ | $(2, 5), (4, 7), (6, 9), (2, 3)$ | مؤلفه اول $2$ دوبار تکرار شده | ✕ تابع نیست |
| $R_B$ | $(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)$ | همه مؤلفههای اول یکتا هستند | ✓ تابع است |
همانطور که در جدول میبینید، در $R_A$ مؤلفه اول $2$ دو بار تکرار شده و خروجیهای متفاوت ($5$ و $3$) گرفته است. این با قانون طلایی در تضاد است.
کاربرد عملی: تشخیص در نمودارهای ون و مختصاتی
فرض کنید در یک مسابقهٔ علمی، هر شرکتکننده یک کد منحصربهفرد دارد و امتیاز او در سه مرحله ثبت میشود. رابطهٔ بین کد شرکتکننده و امتیاز او در هر مرحله باید یک تابع باشد؛ زیرا هر کد (مؤلفه اول) در یک مرحلهٔ خاص، تنها یک امتیاز (مؤلفه دوم) دارد. اگر جدول امتیازات مرحلهٔ اول به صورت $\{(S1, 18), (S2, 20), (S1, 19)\}$ باشد، مشخص است که برای کد $S1$ دو امتیاز متفاوت ثبت شده که غیرممکن است. بنابراین این رابطه نمیتواند معرف امتیازات یک مرحله باشد.
در نمودار مختصاتی، میتوانید از «آزمون خط عمودی» استفاده کنید. اگر یک خط عمودی (موازی محور $y$) نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، به ازای یک ورودی (طول نقطه)، دو خروجی (عرض نقطه) داریم و رابطه تابع نیست.
چالشهای مفهومی
❓ اگر در یک رابطه، همهٔ مؤلفههای اول تکراری باشند، ولی مؤلفههای دوم همگی یکسان باشند (مثلاً $(1,5), (2,5), (3,5)$)، آیا این رابطه تابع محسوب میشود؟
بله. قانون طلایی میگوید: «مؤلفه اول یکسان و مؤلفه دوم متفاوت» ممنوع است. در اینجا مؤلفههای اول متفاوت هستند. اینکه خروجیها یکسان هستند، نه تنها اشکالی ندارد، بلکه به این نوع توابع، «تابع ثابت» میگوییم. پس این رابطه یک تابع است.
❓ رابطه $R = \{(a, b) \mid a \text{ پدر } b \text{ است}\}$ را در نظر بگیرید. آیا این رابطه یک تابع است؟
خیر. یک پدر (مؤلفه اول) میتواند چندین فرزند (مؤلفه دوم) داشته باشد. برای مثال، اگر علی دو فرزند به نامهای حسن و حسین داشته باشد، آنگاه دو زوجمرتب (علی, حسن) و (علی, حسین) را خواهیم داشت. این دو زوج، مؤلفه اول یکسان و مؤلفه دوم متفاوت دارند، پس رابطه تابع نیست.
❓ اگر یک زوجمرتب در یک مجموعه دو بار نوشته شود، مثلاً $\{(1,2), (1,2)\}$، آیا باز هم تابع است؟
بله. اگرچه مؤلفه اول تکرار شده، اما مؤلفه دوم نیز دقیقاً همان است. قانون طلایی درباره «دو زوج مرتب متمایز» صحبت میکند. در مجموعهها، تکرار یک عضو، عضو جدیدی محسوب نمیشود، بنابراین ما فقط یک زوجمرتب $(1,2)$ داریم و قانون نقض نشده است. رابطهٔ حاصل تابع است.
پاورقیها
1دامنه (Domain): مجموعهای از تمام ورودیهای ممکن برای یک تابع. در زوجمرتبها، مجموعه مؤلفههای اول، دامنه را میسازند.
2برد (Range): مجموعهای از تمام خروجیهایی که یک تابع تولید میکند. در زوجمرتبها، مجموعه مؤلفههای دوم، برد را تشکیل میدهند.
