دستگاه مختصات: از زوجهای مرتب تا تصویر هندسی روابط
مبانی دستگاه مختصات: محورها و مبدأ
دستگاه مختصات دکارتی2 از دو خط شمارهدار عمود بر هم تشکیل شده است. خط افقی را محور $x$ (طول) و خط عمودی را محور $y$ (عرض) مینامیم. نقطهای که این دو محور یکدیگر را قطع میکنند، مبدأ مختصات نام دارد و با زوج مرتب $(0, 0)$ نشان داده میشود. جهتهای مثبت محورها معمولاً به سمت راست (برای محور $x$) و به سمت بالا (برای محور $y$) در نظر گرفته میشوند. هر نقطه در صفحه، موقعیت منحصربهفرد خود را با یک زوج مرتب نشان میدهد؛ عدد اول ($x$) فاصله افقی از مبدأ و عدد دوم ($y$) فاصله عمودی از مبدأ را مشخص میکند.
مثال: نقطه $A(3, 2)$ را در نظر بگیرید. برای یافتن آن، ۳ واحد به راست (در جهت مثبت محور $x$) و سپس ۲ واحد به بالا (در جهت مثبت محور $y$) حرکت میکنیم. نقطه $B(-4, 1)$ به معنای ۴ واحد به چپ و ۱ واحد به بالا است.
ربعهای مختصاتی: تقسیمبندی صفحه
دو محور عمود بر هم، صفحه را به چهار ناحیه به نام ربع مختصاتی تقسیم میکنند. این تقسیمبندی بر اساس علامت اعداد $x$ و $y$ صورت میگیرد. شناخت ربعها به سرعت بخشیدن به فرآیند یافتن نقاط کمک میکند. ترتیب شمارهگذاری ربعها به صورت پادساعتگرد است.
| ربع مختصاتی | علامت $x$ | علامت $y$ | مثال |
|---|---|---|---|
| ربع اول (I) | $+$ | $+$ | $(5, 3)$ |
| ربع دوم (II) | $-$ | $+$ | $(-2, 4)$ |
| ربع سوم (III) | $-$ | $-$ | $(-6, -1)$ |
| ربع چهارم (IV) | $+$ | $-$ | $(7, -5)$ |
کاربرد عملی: تحلیل دادههای تجربی با نمودار مختصات
فرض کنید در یک آزمایش ساده، رابطه بین دمای یک ماده (بر حسب درجه سلسیوس) و زمان گرم شدن آن (بر حسب دقیقه) را اندازهگیری کردهایم. نتایج به صورت زوجهای مرتب $(زمان، دما)$ در جدول زیر ثبت شده است. با نمایش این نقاط در دستگاه مختصات، میتوانیم روند افزایش دما را بهصورت بصری مشاهده کرده و حتی درباره مقادیر بین نقاط اندازهگیریشده، پیشبینی انجام دهیم.
| زمان (دقیقه) | دما (سلسیوس) | زوج مرتب | ربع مختصاتی |
|---|---|---|---|
| ۰ | ۱۵ | $(0, 15)$ | روی محور $y$ |
| ۲ | ۲۵ | $(2, 25)$ | ربع اول |
| ۴ | ۴۰ | $(4, 40)$ | ربع اول |
| ۶ | ۵۵ | $(6, 55)$ | ربع اول |
همانطور که مشاهده میشود، تمام نقاط ثبتشده در ربع اول قرار دارند (زیرا زمان و دما هر دو مثبت هستند). اگر دادهها شامل دمای زیر صفر (مثلاً $-5$ درجه) هم بودند، نقطه مربوطه در ربع چهارم جای میگرفت. این روش ساده، پایه و اساس رسم نمودار توابع و مدلسازی پدیدههای علمی است.
چالشهای مفهومی
ترتیب اعداد در یک زوج مرتب حیاتی است. زوج مرتب $(۲, ۳)$ نقطهای را نشان میدهد که $۲$ واحد در جهت $x$ و $۳$ واحد در جهت $y$ حرکت کردهایم. اگر ترتیب را عوض کنیم و $(۳, ۲)$ را در نظر بگیریم، این بار $۳$ واحد در جهت $x$ و $۲$ واحد در جهت $y$ حرکت میکنیم که منجر به نقطهای کاملاً متفاوت در صفحه میشود، مگر در موارد خاص که هر دو عدد برابر باشند. پس «ترتیب» تعیینکننده موقعیت نهایی نقطه است.
تشخیص آن بسیار ساده است. اگر نقطهای روی محور $x$ها باشد، عرض آن (مختصات $y$) برابر صفر است. به عبارت دیگر، مختصات آن به صورت $(a, 0)$ است. اگر نقطهای روی محور $y$ها باشد، طول آن (مختصات $x$) برابر صفر بوده و به صورت $(0, b)$ نوشته میشود. و اگر هر دو مختصات صفر باشند، نقطه همان مبدأ مختصات $(0,0)$ است که محل برخورد دو محور میباشد.
قطعاً خیر. در جغرافیا، طول و عرض جغرافیایی یک شهر در واقع مختصات آن روی کره زمین است. در علوم کامپیوتر، صفحه نمایشگر مانیتور شما یک دستگاه مختصات است که مبدأ آن در گوشه بالا سمت چپ تعریف شده و مکان هر پیکسل با یک زوج مرتب مشخص میشود. در اقتصاد، برای نمایش رابطه بین قیمت یک کالا و میزان تقاضا برای آن از نمودار مختصات استفاده میکنند. حتی در بازیهای رایانهای، موقعیت هر شخصیت یا شیء با مختصاتی در صفحه بازی تعیین میشود.
پاورقیها
1نمودار مختصاتی (Coordinate Graph): صفحهای است که توسط دو خط عمود بر هم مدرج (محورها) به چهار بخش تقسیم شده و برای نمایش نقاط یا زوجهای مرتب استفاده میشود.
2دستگاه مختصات دکارتی (Cartesian Coordinate System): دستگاه مختصاتی که توسط فیلسوف و ریاضیدان فرانسوی، رنه دکارت، ابداع شد. در این دستگاه، موقعیت هر نقطه با یک زوج مرتب $(x, y)$ روی صفحه مشخص میشود.
