مجموعه زوجهای مرتب: پلی از روابط تا توابع
زوج مرتب چیست و چگونه نمایش داده میشود؟
یک زوج مرتب5، نمایشی از دو عنصر با یک ترتیب مشخص است. اگر عنصر اول را a و عنصر دوم را b بنامیم، زوج مرتب مربوطه را به صورت $(a,b)$ نشان میدهیم. در این نمایش، ترتیب اهمیت دارد: زوج $(a,b)$ با زوج $(b,a)$ برابر نیست مگر اینکه $a=b$. به عنوان مثال، زوج (۲,۳) نشاندهندهٔ نقطهای در صفحهٔ مختصات است که فاصلهٔ افقی آن از مبدأ $2$ واحد و فاصلهٔ عمودی آن $3$ واحد است، در حالی که زوج (۳,۲) نقطهٔ دیگری را نشان میدهد.
برای درک بهتر، فرض کنید در یک کلاس درس، هر دانشآموز یک کد یکتا و یک نمرهٔ امتحانی داشته باشد. رابطهٔ بین کد دانشآموز و نمرهٔ او را میتوان با مجموعهای از زوجهای مرتب نمایش داد: $(شمارهدانشآموز, نمره)$. در این حالت، زوج $(۴۰۱, ۱۸)$ یعنی دانشآموز با کد $۴۰۱$ نمرهٔ $۱۸$ را کسب کرده است و برعکس آن ($(۱۸,۴۰۱)$) معنی متفاوتی خواهد داشت.
رابطه به عنوان زیرمجموعهای از ضرب دکارتی
در ریاضیات، یک رابطه از مجموعه A به مجموعه B، مجموعهای از زوجهای مرتب است که در آن مؤلفهٔ اول از A و مؤلفهٔ دوم از B انتخاب شده باشد. به عبارت دیگر، هر رابطه زیرمجموعهای از ضرب دکارتی $A \times B$ است. به مؤلفههای اول زوجها در یک رابطه، «دامنه»1 و به مؤلفههای دوم آنها، «برد»2 میگویند.
به عنوان مثال، فرض کنید $A = \{۱,۲,۳\}$ مجموعهٔ بازیکنان تیم فوتبال و $B = \{۱۰, ۷, ۵\}$ شماره پیراهنهای موجود باشد. رابطهٔ R که هر بازیکن را به شماره پیراهنش متصل کند، میتواند به این صورت تعریف شود: $R = \{(۱,۱۰), (۲,۷), (۳,۵)\}$. در این رابطه، دامنه مجموعهٔ $\{۱,۲,۳\}$ و برد مجموعهٔ $\{۱۰,۷,۵\}$ است. اگر یک بازیکن دو شماره داشته باشد یا دو بازیکن یک شماره مشترک داشته باشند، باز هم یک رابطه تعریف میشود؛ مثلاً $R' = \{(۱,۱۰), (۲,۱۰), (۳,۵)\}$.
| مفهوم | توضیح | مثال (اعداد) |
|---|---|---|
| زوج مرتب | دو عنصر با ترتیب مشخص | (۵, ۲) |
| ضرب دکارتی | مجموعه تمام زوجهای ممکن | {۱,۲}×{a,b} |
| دامنه | مجموعه مؤلفههای اول در رابطه | برای {(۲,۳),(۲,۵)} دامنه {۲} |
| برد | مجموعه مؤلفههای دوم در رابطه | برای {(۲,۳),(۲,۵)} برد {۳,۵} |
تابع: رابطهای با شرط یکتایی
تابع6 نوع خاصی از رابطه است که در آن هر عنصر از دامنه (ورودی) به تنها یک عنصر از برد (خروجی) متصل میشود. به زبان ساده، در یک تابع، هیچ دو زوج مرتبی با مؤلفهٔ اول یکسان، مؤلفهٔ دوم متفاوت ندارند. اگر یک رابطه این شرط را داشته باشد، میگوییم یک تابع است.
برای تشخیص سریع یک تابع از روی مجموعه زوجهای مرتب، کافی است به مؤلفههای اول نگاه کنیم. اگر مؤلفه اول تکراری با مؤلفه دوم متفاوت وجود داشته باشد، آن رابطه تابع نیست. برای مثال:
- $f = \{(۱,۲), (۲,۳), (۳,۴)\}$ یک تابع است (همهٔ مؤلفههای اول یکتا هستند).
- $g = \{(۱,۲), (۱,۳), (۲,۴)\}$ یک تابع نیست، زیرا عنصر $۱$ از دامنه به دو خروجی $۲$ و $۳$ متصل شده است.
برای نمایش تابع در دستگاه مختصات، از «آزمون خط عمودی»4 استفاده میکنیم. اگر بتوان خطی عمودی رسم کرد که نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن نمودار مربوط به یک تابع نیست. به عنوان مثال، نمودار یک دایره یک تابع نیست، اما نمودار یک خط راست با شیب غیرعمودی، یک تابع است.
کاربرد عملی: مدلسازی موقعیتهای واقعی
مجموعههای زوجهای مرتب ابزاری قدرتمند برای مدلسازی پدیدههای دنیای واقعی هستند. فرض کنید میخواهیم هزینهٔ یک سفر با تاکسی را بر اساس مسافت طیشده محاسبه کنیم. اگر نرخ هر کیلومتر $۵۰۰۰$ تومان و مبلغ سوار شدن $۲۰۰۰$ تومان باشد، هزینهٔ کل تابعی از مسافت خواهد بود: $هزینه = ۲۰۰۰ + ۵۰۰۰ \times مسافت$. مجموعه زوجهای مرتب $(مسافت, هزینه)$ برای مسافتهای مختلف یک تابع را تشکیل میدهد، زیرا به ازای هر مسافت (ورودی)، تنها یک هزینه (خروجی) داریم. برای مسافتهای $۱$، $۲$ و $۳$ کیلومتر، مجموعه $\{(۱,۷۰۰۰), (۲,۱۲۰۰۰), (۳,۱۷۰۰۰)\}$ بهدست میآید.
مثالی دیگر: رابطه بین نام یک کشور و پایتخت آن یک تابع است (هر کشور دقیقاً یک پایتخت دارد). اما رابطه بین یک کشور و شهرهای مهم آن یک تابع نیست، زیرا یک کشور میتواند چندین شهر مهم داشته باشد. این تمایز در طراحی پایگاهدادهها و برنامهنویسی بسیار حیاتی است.
چالشهای مفهومی
۱. آیا هر رابطهای را میتوان یک تابع در نظر گرفت؟
خیر. شرط اصلی تابع بودن این است که هر عنصر از دامنه به یک و تنها یک عنصر از برد نگاشت شود. اگر در یک رابطه، یک ورودی دو خروجی متفاوت داشته باشد، آن رابطه تابع نیست. برای مثال، رابطه $\{(a,۱), (a,۲)\}$ تابع نیست.
۲. تفاوت بین زوج مرتب $(۲,۳)$ و مجموعه $\{۲,۳\}$ چیست؟
تفاوت اساسی در مفهوم ترتیب است. در مجموعه $\{۲,۳\}$، ترتیب عناصر مهم نیست و $\{۲,۳\} = \{۳,۲\}$. اما در زوج مرتب $(۲,۳)$، عنصر اول $۲$ و عنصر دوم $۳$ است و با $(۳,۲)$ تفاوت دارد. زوجهای مرتب برای نمایش مختصات نقاط و روابط بین دو کمیت به کار میروند.
۳. آیا میتوان یک تابع داشت که در آن دو عنصر متفاوت از دامنه، به یک عنصر یکسان در برد متصل شوند؟
بله، کاملاً ممکن است. شرط تابع بودن یکتایی خروجی برای هر ورودی است، نه یکتایی ورودی برای هر خروجی. برای مثال، تابع $h = \{(۱,۵), (۲,۵), (۳,۵)\}$ یک تابع معتبر است. در اینجا سه ورودی مختلف همگی به یک خروجی واحد ($۵$) متصل شدهاند.
پاورقی
1دامنه (Domain): به مجموعه همه مؤلفههای اول در یک رابطه یا تابع گفته میشود. به عبارت دیگر، مجموعه تمام ورودیها.
2برد (Range): به مجموعه همه مؤلفههای دوم در یک رابطه یا تابع گفته میشود. به عبارت دیگر، مجموعه تمام خروجیهایی که به ورودیها متصل شدهاند.
3ضرب دکارتی (Cartesian Product): عملی است بر روی دو مجموعه که حاصل آن مجموعه تمام زوجهای مرتب ممکنی است که مؤلفه اول از مجموعه اول و مؤلفه دوم از مجموعه دوم انتخاب میشود.
4آزمون خط عمودی (Vertical Line Test): روشی برای تشخیص تابع بودن یک نمودار در دستگاه مختصات. اگر بتوان خطی عمودی رسم کرد که نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، نمودار یک تابع نیست.
5زوج مرتب (Ordered Pair): یک جفت عنصر که در آن ترتیب قرار گرفتن عناصر اهمیت دارد و با نماد $(a,b)$ نمایش داده میشود.
6تابع (Function): نوع خاصی از رابطه است که در آن هر عنصر از دامنه به یک و تنها یک عنصر از برد نسبت داده میشود.
