نامعادله قدرمطلقی: نامعادله‌ای که در آن عبارت دارای قدر مطلق |u| است

نامعادله قدرمطلقی: از مفهوم تا حل نامعادلات پیچیده

۱. تعریف قدر مطلق و مفهوم هندسی آن

قدر مطلق یک عدد حقیقی مانند x که با نماد $|x|$ نمایش داده می‌شود، فاصلهٔ آن عدد از نقطهٔ صفر روی محور اعداد است. این فاصله همیشه مقداری نامنفی (صفر یا مثبت) است. تعریف جبری قدر مطلق به صورت زیر است:

به عبارت دیگر، اگر عدد مثبت یا صفر باشد، قدر مطلق خودش است؛ و اگر منفی باشد، قدر مطلق قرینهٔ آن (یعنی مثبت) خواهد بود. به عنوان مثال:

• $|5| = 5$
• $|-3| = 3$
• $|0| = 0$

این تعریف ساده، پایهٔ اصلی برای حل نامعادلات قدرمطلقی است.

۲. نامعادلات پایه‌ای قدر مطلق: دو فرم اصلی

دو نوع نامعادلهٔ پایه‌ای که با قدر مطلق سروکار دارند، به صورت $|u| \lt a$ و $|u| \gt a$ هستند (که در آن a عددی مثبت است). حالت‌های مساوی ($\le$ و $\ge$) نیز مشابه حل می‌شوند.

مثال: نامعادله $|x-2| \lt 5$ را حل کنید.

طبق فرم اول داریم: $-5 \lt x-2 \lt 5$. با اضافه کردن $2$ به همهٔ طرفین:

$-5+2 \lt x \lt 5+2 \;\Rightarrow\; -3 \lt x \lt 7$.

پس جواب بازهٔ $(-3, 7)$ است.

۳. تحلیل حالات خاص: وقتی a منفی یا صفر است

گاهی عدد سمت راست نامعادله (که آن را a می‌نامیم) می‌تواند صفر یا حتی منفی باشد. در این موارد باید با دقت بیشتری عمل کرد:

۴. روش مربع کردن: تکنیکی برای حذف قدر مطلق

یکی از روش‌های مؤثر برای حل نامعادلات قدرمطلقی، مربع کردن دو طرف نامعادله است. از آنجا که برای هر عدد حقیقی داریم $|u|^2 = u^2$، می‌توان با این کار علامت قدر مطلق را حذف کرد. اما باید دقت داشت که مربع کردن فقط زمانی مجاز است که هر دو طرف نامعادله نامنفی باشند (که در مورد قدر مطلق معمولاً این شرط برقرار است).

مثال: نامعادله $|x-1| \gt |x+2|$ را حل کنید.

دو طرف را مربع می‌کنیم:

$\Rightarrow x^2 -2x +1 \gt x^2 +4x +4$

$\Rightarrow -2x +1 \gt 4x +4$

$\Rightarrow -6x \gt 3$

$\Rightarrow x \lt -\frac{1}{2}$

بنابراین جواب بازهٔ $(-\infty, -\frac{1}{2})$ است.

۵. روش تحلیل بازه‌ها (حالت‌بندی)

وقتی عبارت درون قدر مطلق خود شامل چندجمله‌ای‌های درجه‌یک باشد، می‌توان با استفاده از روش تحلیل بازه‌ها (حالت‌بندی) نامعادله را حل کرد. در این روش، ریشه‌های عبارات داخل قدر مطلق را یافته و محور اعداد را به بازه‌هایی تقسیم می‌کنیم. سپس در هر بازه، علامت عبارت داخل قدر مطلق را مشخص کرده و قدر مطلق را باز می‌کنیم.

مثال: نامعادله $|x+1| + |x-2| \le 5$ را حل کنید.

ریشه‌های داخل قدر مطلق $x=-1$ و $x=2$ هستند. محور اعداد به سه بازه تقسیم می‌شود:

• بازهٔ اول: $x \lt -1$
• بازهٔ دوم: $-1 \le x \le 2$
• بازهٔ سوم: $x \gt 2$

حال در هر بازه، علائم را تعیین کرده و نامعادله را حل می‌کنیم:

• بازهٔ اول ($x \lt -1$): هر دو عبارت داخل قدر مطلق منفی‌اند، پس $|x+1| = -(x+1)$ و $|x-2| = -(x-2)$. نامعادله می‌شود: $-(x+1) - (x-2) \le 5 \Rightarrow -x-1 -x+2 \le 5 \Rightarrow -2x+1 \le 5 \Rightarrow -2x \le 4 \Rightarrow x \ge -2$. اشتراک این جواب با بازهٔ اول: $[-2, -1)$.
• بازهٔ دوم ($-1 \le x \le 2$):$|x+1| = x+1$ و $|x-2| = -(x-2)$. نامعادله: $(x+1) - (x-2) \le 5 \Rightarrow x+1 -x +2 \le 5 \Rightarrow 3 \le 5$ که همواره درست است. پس کل این بازه جواب است: $[-1, 2]$.
• بازهٔ سوم ($x \gt 2$): هر دو عبارت مثبت‌اند: $|x+1| = x+1$ و $|x-2| = x-2$. نامعادله: $(x+1)+(x-2) \le 5 \Rightarrow 2x-1 \le 5 \Rightarrow 2x \le 6 \Rightarrow x \le 3$. اشتراک با بازهٔ سوم: $(2, 3]$.

اجتماع جواب‌های سه بازه، جواب نهایی یعنی $[-2, 3]$ است.

۶. کاربرد عملی: تعیین بازه‌ی دمای مجاز

فرض کنید در یک فرایند شیمیایی، دمای یک ماده بر حسب درجه سانتیگراد باید حداکثر $2$ درجه با دمای بهینهٔ $25$ درجه اختلاف داشته باشد. این شرط را می‌توان با نامعادلهٔ قدرمطلقی $|T - 25| \le 2$ مدل کرد. با حل این نامعادله داریم:

$-2 \le T-25 \le 2 \;\Rightarrow\; 23 \le T \le 27$.

بنابراین دمای مجاز برای ماده، بازهٔ $[23, 27]$ درجه سانتیگراد است. این یک مثال ساده و کاربردی از نحوه استفاده از نامعادلات قدرمطلقی در مسائل دنیای واقعی است.

۷. چالش‌های مفهومی

پاورقی‌ها