بازهها: زبان گویای نامعادلهها
با استفاده از نماد بازهها، مجموعه جواب نامعادلهها را روی خط اعداد حقیقی ساده و استاندارد بنویسید.
در ریاضیات دبیرستان، پس از حل یک نامعادله، نوبت به نمایش مجموعه جواب میرسد. نمایش بهصورت بازهای، روشی استاندارد، فشرده و بسیار بصری برای نشان دادن تمام اعداد حقیقیای است که در یک نامعادله صدق میکنند. این مقاله به شما میآموزد که چگونه مفاهیمی مانند \(x \gt 3\)، \(-1 \le x \lt 5\) یا \(x \le -2\) را به زبان سادهی بازهها ترجمه کنید و با استفاده از پرانتز و کروشه، مرزهای باز و بسته را بهدرستی نشان دهید.
از خط اعداد تا نماد بازه
پیش از پرداختن به نامعادلهها، باید با مفهوم بازه و نحوه نمایش آن آشنا شویم. بازه در واقع مجموعهای از اعداد حقیقی است که بین دو نقطه مشخص قرار دارند. این نقاط، کرانهای بازه نامیده میشوند. بسته به اینکه خود کرانها عضو مجموعه باشند یا نه، از پرانتز یا کروشه استفاده میکنیم.جدول زیر، انواع اصلی بازهها و نمایش آنها روی خط اعداد و با نماد ریاضی را نشان میدهد:
| شرح بازه | نامعادله معادل | نماد بازه |
|---|---|---|
| بازه باز (کرانها عضو نیستند) | \(a \lt x \lt b\) | \((a , b)\) |
| بازه بسته (هر دو کران عضو هستند) | \(a \le x \le b\) | \([a , b]\) |
| بازه نیمهباز (نیمهباز راست) | \(a \le x \lt b\) | \([a , b)\) |
| بازه نیمهباز (نیمهباز چپ) | \(a \lt x \le b\) | \((a , b]\) |
| بازههای بینهایت⁴ (نامتناهی) | \(x \gt a\) یا \(x \le b\) | \((a , +\infty)\) یا \((-\infty , b]\) |
گامهای نوشتن جواب نامعادله به صورت بازه
برای نوشتن مجموعه جواب یک نامعادله به صورت بازه، میتوانیم از یک فرآیند سه مرحلهای ساده پیروی کنیم. فرض کنید نامعادلهای مانند \(-2 \le 3x + 1 \lt 7\) را حل کردهایم.گام اول: حل نامعادله و یافتن بازه تغییرات متغیر. ابتدا نامعادله را مانند یک معادله ساده حل میکنیم، با این تفاوت که اگر دو طرف نامعادله را در عدد منفی ضرب یا تقسیم کنیم، جهت نامساوی عوض میشود.
\(-2 \le 3x + 1 \lt 7 \implies -2 -1 \le 3x \lt 7 -1 \implies -3 \le 3x \lt 6 \implies -1 \le x \lt 2\)
گام دوم: تعیین وضعیت کرانها. به نامعادله نهایی دقت کنید:
- در سمت چپ، علامت \(\le\) داریم. یعنی \(-1\) در مجموعه جواب عضو است.
- در سمت راست، علامت \(\lt\) داریم. یعنی \(2\) در مجموعه جواب عضو نیست.
گام سوم: نوشتن نماد بازه. طبق جدول بالا، برای حالتی که کران چپ بسته و کران راست باز است، از نماد \([ \ , \ )\) استفاده میکنیم. بنابراین مجموعه جواب به صورت زیر خواهد بود:
فرمول نهایی:\([-1 , 2)\)
کاربرد عملی در نامعادلات خطی و درجه دوم
بیایید این فرآیند را برای دو نوع نامعادله رایج دیگر تکرار کنیم تا کاملاً به موضوع مسلط شویم.مثال اول (نامعادله خطی): مجموعه جواب نامعادله \(5 - 2x \ge 1\) را به صورت بازه بنویسید.
- حل:\(5 - 2x \ge 1 \implies -2x \ge 1 - 5 \implies -2x \ge -4\). حالا دو طرف را بر \(-2\) تقسیم میکنیم (جهت نامساوی عوض میشود): \(x \le 2\).
- تعیین کران: کران بالا \(2\) است و به دلیل علامت \(\le\)، این عدد عضو مجموعه جواب است. سمت چپ بازه به سمت \(-\infty\) (منفی بینهایت) باز میشود.
- نماد بازه:\((-\infty , 2]\)
مثال دوم (نامعادله درجه دوم): مجموعه جواب نامعادله \(x^2 - x - 6 \gt 0\) را به صورت بازه بنویسید.
- حل: معادله \(x^2 - x - 6 = 0\) را حل میکنیم. ریشهها \(x = -2\) و \(x = 3\) هستند. با توجه به مثبت بودن ضریب \(x^2\)، سهمی رو به بالا است و نامعادله \(\gt 0\) برای نقاط خارج از ریشهها برقرار است. یعنی \(x \lt -2\) یا \(x \gt 3\).
- تعیین کران: در \(x \lt -2\)، کران \(-2\) عضو نیست. در \(x \gt 3\)، کران \(3\) عضو نیست. بقیه نقاط تا بینهایت امتداد دارند.
- نماد بازه: جواب شامل دو بازه جداگانه است. برای نمایش اجتماع آنها از نماد \(\cup\) (اتحاد) استفاده میکنیم: \((-\infty , -2) \cup (3 , +\infty)\).
چالشهای مفهومی
چالش ۱: چرا گاهی از علامت \(\cup\) استفاده میکنیم؟
پاسخ: علامت \(\cup\) (اِتّحاد) برای نمایش اجتماع دو یا چند مجموعه به کار میرود. وقتی مجموعه جواب یک نامعادله از چند بخش مجزا تشکیل شده باشد (مثل نامعادله درجه دوم مثال قبل)، باید آنها را با نماد \(\cup\) به هم پیوند دهیم تا نشان دهیم هر عضوی که در یکی از این بازهها باشد، جواب نامعادله است.
پاسخ: علامت \(\cup\) (اِتّحاد) برای نمایش اجتماع دو یا چند مجموعه به کار میرود. وقتی مجموعه جواب یک نامعادله از چند بخش مجزا تشکیل شده باشد (مثل نامعادله درجه دوم مثال قبل)، باید آنها را با نماد \(\cup\) به هم پیوند دهیم تا نشان دهیم هر عضوی که در یکی از این بازهها باشد، جواب نامعادله است.
چالش ۲: آیا میتوان مجموعه جواب \(x \neq 2\) را با بازه نشان داد؟
پاسخ: بله، اما نه با یک بازه واحد. مجموعه همه اعداد حقیقی به جز \(2\)، از دو بازه تشکیل میشود: همه اعداد کوچکتر از \(2\) و همه اعداد بزرگتر از \(2\). بنابراین بهصورت \((-\infty , 2) \cup (2 , +\infty)\) نوشته میشود.
پاسخ: بله، اما نه با یک بازه واحد. مجموعه همه اعداد حقیقی به جز \(2\)، از دو بازه تشکیل میشود: همه اعداد کوچکتر از \(2\) و همه اعداد بزرگتر از \(2\). بنابراین بهصورت \((-\infty , 2) \cup (2 , +\infty)\) نوشته میشود.
چالش ۳: تفاوت \([a,b]\) و \((a,b)\) در یک نامعادله عملی چیست؟
پاسخ: در یک مسأله عملی، اگر کرانها باز باشند (با پرانتز)، یعنی نقطهای با آن مقدار دقیقاً در جواب صدق نمیکند. برای مثال، اگر \(x\) طول یک ورق باشد و شرط \(x \gt 5\) داشته باشیم (\((5,+\infty)\))، یک ورق با طول دقیقاً \(5\) سانتیمتر قابل قبول نیست، ولی اگر شرط \(x \ge 5\) (\([5,+\infty)\)) باشد، آن ورق دقیقاً \(5\) سانتیمتری هم قابل قبول است.
پاسخ: در یک مسأله عملی، اگر کرانها باز باشند (با پرانتز)، یعنی نقطهای با آن مقدار دقیقاً در جواب صدق نمیکند. برای مثال، اگر \(x\) طول یک ورق باشد و شرط \(x \gt 5\) داشته باشیم (\((5,+\infty)\))، یک ورق با طول دقیقاً \(5\) سانتیمتر قابل قبول نیست، ولی اگر شرط \(x \ge 5\) (\([5,+\infty)\)) باشد، آن ورق دقیقاً \(5\) سانتیمتری هم قابل قبول است.
خلاصه هوشمند: نمایش مجموعه جواب با بازه، پلی است بین جبر و هندسه. با یادگیری این روش، دیگر نیازی به نوشتن نامعادلههای طولانی نیست و با یک نگاه به نماد \(( , )\) یا \([ , ]\) متوجه میشویم که کرانها عضو هستند یا خیر. این روش، پایهای برای مباحث پیشرفتهتر مانند تعیین دامنه توابع و حل سامانههای نامعادلات است.
پاورقی
1کرانها (Bounds): به نقاط ابتدا و انتهای یک بازه، کرانهای آن بازه میگویند. برای مثال در بازه \([2,5)\)، عدد \(2\) کران پایین و عدد \(5\) کران بالا است.
2بازه باز و بسته (Open and Closed Interval): بازهای که کرانهای آن عضو مجموعه نباشند، باز \((a,b)\) و اگر عضو باشند، بسته \([a,b]\) نامیده میشود.
3اجتماع (Union): عملی بر روی مجموعهها که مجموعهای از تمام اعضایی که حداقل در یکی از مجموعهها موجود باشند را ایجاد میکند. نماد آن \(\cup\) است.
4بینهایت (Infinity): یک مفهوم ریاضی برای نشان دادن نامحدود بودن است. بینهایت مثبت (\(+\infty\)) و بینهایت منفی (\(-\infty\)) هر دو مفهوم هستند، نه عدد، بنابراین همیشه با پرانتز نوشته میشوند.
2بازه باز و بسته (Open and Closed Interval): بازهای که کرانهای آن عضو مجموعه نباشند، باز \((a,b)\) و اگر عضو باشند، بسته \([a,b]\) نامیده میشود.
3اجتماع (Union): عملی بر روی مجموعهها که مجموعهای از تمام اعضایی که حداقل در یکی از مجموعهها موجود باشند را ایجاد میکند. نماد آن \(\cup\) است.
4بینهایت (Infinity): یک مفهوم ریاضی برای نشان دادن نامحدود بودن است. بینهایت مثبت (\(+\infty\)) و بینهایت منفی (\(-\infty\)) هر دو مفهوم هستند، نه عدد، بنابراین همیشه با پرانتز نوشته میشوند.
