عبارت تعریفنشده: وقتی ریاضیات سکوت میکند
ریشههای تعریفنشده: مخرج صفر و رادیکالهای زوج
مفهوم «تعریفنشده»Undefined عموماً در سه حوزه اصلی در ریاضیات دبیرستان دیده میشود: کسرها، رادیکالها و لگاریتمها. در تمام این موارد، عملیات ریاضی تعریف خود را از دست میدهد.
- تقسیم بر صفر: وقتی مخرج کسری برابر صفر باشد، عبارت معنی ندارد. دلیل آن بینهایت شدن جواب یا عدم قطعیت است. بهعنوان مثال، عبارت $\frac{5}{0}$ تعریفنشده است.
- ریشههای زوج اعداد منفی: در مجموعه اعداد حقیقی، $\sqrt{-4}$ یا $\sqrt[4]{-16}$ تعریفنشده هستند. چون هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که بتوان با توان زوج به یک عدد منفی رسید.
- لگاریتم اعداد غیرمثبت: لگاریتم یک عدد تنها برای اعداد مثبت تعریف میشود. بنابراین $\log(0)$ و $\log(-5)$ جزء عبارتهای تعریفنشده محسوب میشوند.
دستهبندی عبارتهای تعریفنشده بر اساس نوع توابع
برای درک بهتر، عبارتهای تعریفنشده را میتوان بر اساس نوع تابع یا عملی که باعث ایجاد آنها میشود، دستهبندی کرد. جدول زیر رایجترین موارد را نشان میدهد:
| نوع عبارت | شرط تعریفنشده | مثال نقض |
|---|---|---|
| کسر گویا | مخرج $= 0$ | $f(x)=\frac{x}{x-2}$ در $x=2$ |
| رادیکال با فرجه زوج | زیر رادیکال $\lt 0$ | $g(x)=\sqrt{x+1}$ در $x \lt -1$ |
| لگاریتم | ورودی $\le 0$ | $h(x)=\ln(x-3)$ در $x \le 3$ |
| تانژانت | $\cos x = 0$ | $\tan(\frac{\pi}{2})$ |
کاربرد عملی: یافتن دامنه توابع
مهمترین کاربرد مفهوم عبارت تعریفنشده در دوره دبیرستان، تعیین دامنهDomain توابع است. برای پیدا کردن دامنه یک تابع، کافی است مقادیری از متغیر را که باعث تعریفنشده شدن عبارت میشوند، از مجموعه اعداد حقیقی حذف کنیم.
مثال عینی: فرض کنید تابع $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-5}$ داده شده است. برای یافتن دامنه:
- شرط رادیکال: زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
- شرط مخرج: مخرج نباید صفر باشد: $x-5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5$.
بنابراین دامنه تابع $f$ برابر است با همه اعداد بزرگتر یا مساوی $1$ به جز $5$. یعنی: $[1,5) \cup (5,+\infty)$.
در یک مسئله برنامهنویسی نیز، اگر کاربر مقدار $x=5$ را وارد کند، ماشین حساب یا نرمافزار خطای «تعریفنشده» یا «تقسیم بر صفر» را نمایش میدهد.
چالشهای مفهومی
❓ چرا معمولاً میگویند «تقسیم بر صفر مجاز نیست» اما گاهی در ریاضیات عالی از بینهایت صحبت میشود؟
در حسابان، حد $\frac{1}{x}$ وقتی $x$ به صفر نزدیک میشود، به سمت بینهایت میل میکند. اما این بدان معنا نیست که خود $\frac{1}{0}$ تعریف شده باشد. حد یک فرایند نزدیک شدن را توصیف میکند، در حالی که مقدار در نقطه مورد نظر همچنان تعریفنشده باقی میماند.
❓ آیا عبارت $0^0$ تعریفنشده است؟ چرا برخی ماشینحسابها آن را برابر $1$ نشان میدهند؟
$0^0$ یک «شکل ناتعیین» است. در جبر، معمولاً تعریفنشده در نظر گرفته میشود زیرا هم استدلال توان صفر ($x^0=1$) و هم استدلال پایه صفر ($0^y=0$) با هم در تضاد هستند. در برخی شاخههای ریاضی مانند ترکیبیات، بهصورت قراردادی آن را برابر $1$ میگیرند.
❓ چرا دامنه تابع $\frac{1}{\sqrt{x}}$ اعداد مثبت است، نه اعداد نامنفی؟
چون رادیکال در مخرج قرار دارد. اولاً $\sqrt{x}$ برای $x \ge 0$ تعریف میشود، اما از آنجایی که این رادیکال در مخرج است، باید حتماً مخالف صفر هم باشد. بنابراین $x \gt 0$ شرط نهایی خواهد بود. $x=0$ اگرچه رادیکال دارد، اما مخرج را صفر میکند و عبارت را تعریفنشده میسازد.
? نکته پایانی
عبارت تعریفنشده فقط یک «خطا» نیست، بلکه مرزهای دانش ریاضی را مشخص میکند. درک این مرزها به ما کمک میکند تا توابع را دقیقتر تحلیل کنیم، دامنه آنها را درست بهدست آوریم و از بهکار بردن مقادیر نامجاز در محاسبات علمی و مهندسی پرهیز کنیم. وقتی با عبارتی مواجه میشوید که «تعریفنشده» است، بدانید که ریاضیات دارد به شما میگوید: «تا اینجا میتوانی پیش بیایی، جلوتر را باید با ابزارهای دیگری (مثل حد) بررسی کنی.»
پاورقی
[۱] Undefined: در ریاضیات به حالتی گفته میشود که یک عبارت، عدد یا کمیت مشخصی را نشان ندهد و در چارچوب قواعد تعریفشده، قابل محاسبه نباشد.
[۲] Domain: مجموعه تمام مقادیر ورودی مجاز برای یک تابع که تابع برای آن مقادیر خروجی حقیقی و معتبر دارد.
[۳] شکل ناتعیین (Indeterminate Form): عبارتی مانند $\frac{0}{0}$ یا $0^0$ که به تنهایی مبین مقدار مشخصی نیست و برای رفع ابهام آن نیاز به استفاده از مفهوم حد است.
