اصل تهی بودن ضرب دکارتی: هرگاه یکی از مجموعهها تهی باشد، حاصلضرب دکارتی تهی است
مفهوم ضرب دکارتی و مجموعه تهی
برای درک اصل تهی بودن ضرب دکارتی، ابتدا باید با دو مفهوم پایهای آشنا شویم: مجموعه تهی و ضرب دکارتی. مجموعه تهی که با نماد ∅ یا {} نشان داده میشود، مجموعهای است که هیچ عضوی ندارد. بهعنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی بین 5 و 6 یک مجموعه تهی است.
ضرب دکارتی دو مجموعه A و B که با A × B نمایش داده میشود، مجموعه تمام زوجهای مرتبی (a, b) است که در آن a عضوی از A و b عضوی از B باشد. حال سوال اینجاست: اگر A یا B تهی باشد، آیا میتوانیم چنین زوج مرتبی تشکیل دهیم؟ پاسخ منفی است.
در ادامه با چند مثال ساده این موضوع را شفافتر خواهیم کرد. فرض کنید A = {1, 2} و B = {} (تهی). برای تشکیل یک زوج مرتب (a, b)، باید بتوانیم یک عضو از B انتخاب کنیم. اما از آنجایی که B هیچ عضوی ندارد، این کار غیرممکن است. بنابراین، هیچ زوج مرتبی وجود نخواهد داشت و حاصلضرب دکارتی، مجموعهای تهی خواهد بود.
اثبات گامبهگام با استفاده از منطق ریاضی
برای اثبات این اصل، از تعریف اصلی ضرب دکارتی و منطق ریاضی استفاده میکنیم. فرض کنید A و B دو مجموعه دلخواه هستند. بر اساس تعریف:
حال فرض میکنیم یکی از دو مجموعه تهی است. بدون از دست رفتن کلیت مسئله1، فرض کنید B = \emptyset. برای اینکه عضوی مانند x در A \times B وجود داشته باشد، باید بتوانیم a \in A و b \in B پیدا کنیم بهطوری که x = (a,b). اما گزاره «b \in B» وقتی B تهی باشد، برای هر b نادرست است. بنابراین، چنین زوج مرتبی وجود ندارد. در نتیجه:
اثبات برای حالتی که A تهی باشد نیز کاملاً مشابه است. این نتیجهگیری ساده، پایه و اساس بسیاری از قضایای پیشرفتهتر در ریاضیات گسسته و جبر مجموعهها را تشکیل میدهد.
بررسی حالتهای مختلف با جدول
برای درک بهتر، بیایید تمام حالتهای ممکن برای دو مجموعه A و B را در یک جدول بررسی کنیم. این جدول نشان میدهد که چگونه تهی بودن هر یک از مجموعهها بر نتیجه نهایی تأثیر میگذارد.
| مجموعه A | مجموعه B | حاصلضرب دکارتی A × B | توضیح |
|---|---|---|---|
| {a, b} | {1, 2} | {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)} | هر دو مجموعه ناتهی |
| {a, b} | ∅ | ∅ | مجموعه دوم تهی |
| ∅ | {1, 2} | ∅ | مجموعه اول تهی |
| ∅ | ∅ | ∅ | هر دو مجموعه تهی |
کاربردهای عملی در ریاضیات و علوم کامپیوتر
اصل تهی بودن ضرب دکارتی تنها یک قاعده نظری نیست، بلکه در عمل نیز کاربردهای فراوانی دارد. در علوم کامپیوتر، پایگاههای داده از این مفهوم برای بهینهسازی پرس و جوها استفاده میکنند. برای مثال، در زبان SQL، وقتی دو جدول را با عملگر CROSS JOIN ترکیب میکنیم، اگر یکی از جداول خالی باشد، نتیجه نیز یک جدول خالی خواهد بود.
در نظریه گراف، وقتی میخواهیم گراف حاصلضرب دو گراف را رسم کنیم، اگر مجموعه رئوس یکی از گرافها تهی باشد، گراف حاصل نیز تهی خواهد بود. همچنین در برنامهنویسی تابعی، هنگام کار با لیستها، اگر یکی از لیستهای ورودی به تابعی که حاصلضرب دکارتی را محاسبه میکند خالی باشد، خروجی تابع یک لیست خالی خواهد بود که از بروز خطاهای ناشی از ارجاع به اعضای ناموجود جلوگیری میکند.
