ضرب دکارتی بازهها: از اعداد تا ناحیه مستطیلی
بازه چیست و چگونه آن را نمایش میدهیم؟
بازه مجموعهای از اعداد حقیقی بین دو نقطه است. به عنوان مثال، همه اعداد بزرگتر از 2 و کوچکتر از 5 را میتوان به صورت یک بازه نشان داد. بسته به اینکه نقاط انتهایی شامل بازه باشند یا نه، انواع مختلفی از بازهها داریم. برای نمایش یک بازه از کروشه و پرانتز استفاده میکنیم. اگر نقطه ابتدایی یا انتهایی شامل بازه باشد، از کروشه استفاده میشود و اگر شامل نباشد، از پرانتز. به عنوان مثال، بازه بسته [2,5] شامل اعداد 2 و 5 نیز میشود، در حالی که بازه باز (2,5) این دو عدد را شامل نمیشود.
بازهها را میتوان بر روی محور اعداد تصور کرد. برای مثال، بازه [1,4] قطعهای از محور اعداد از 1 تا 4 است که هر دو نقطه ابتدا و انتها را شامل میشود.
عملیات ضرب دکارتی بین دو بازه
ضرب دکارتی دو مجموعه، مجموعه تمام زوجهای مرتبی است که مؤلفه اول از مجموعه اول و مؤلفه دوم از مجموعه دوم انتخاب میشود. این مفهوم را به بازهها تعمیم میدهیم، حاصل ضرب دکارتی دو بازه مانند I و J به صورت I × J نشان داده میشود و مجموعه تمام زوجهای مرتب (x,y) است که در آن x ∈ I و y ∈ J. برای درک بهتر، فرض کنید بازه اول طول یک مستطیل و بازه دوم عرض آن باشد. در این صورت، حاصل ضرب دکارتی این دو بازه، مجموعه تمام نقاط داخل آن مستطیل خواهد بود.
برای مثال، اگر I = [1,3] و J = [2,4]، آنگاه I × J مجموعه تمام نقاط (x,y) است که در آن 1 ≤ x ≤ 3 و 2 ≤ y ≤ 4. این مجموعه در صفحه مختصات یک مستطیل توپر (شامل مرزها) را تشکیل میدهد.
اگر I = [a,b] و J = [c,d] دو بازه بسته باشند، آنگاه:
| نوع بازه اول (I) | نوع بازه دوم (J) | حاصل ضرب دکارتی I × J | وضعیت مرز ناحیه |
|---|---|---|---|
| [1,3] (بسته) | [2,4] (بسته) | مستطیل با مرزهای بسته | شامل مرزها |
| (1,3) (باز) | (2,4) (باز) | مستطیل بدون مرزها | فاقد مرزها |
| [1,3] (بسته) | (2,4) (باز) | مستطیل با مرزهای بسته در راستای x و باز در راستای y | مرزهای y فاقد |
کاربرد عملی: طراحی یک باغچه مستطیلی
فرض کنید میخواهید یک باغچه مستطیلی در حیاط خود طراحی کنید. طول باغچه باید بین 4 تا 6 متر و عرض آن بین 2 تا 3 متر باشد. اگر طول را با x و عرض را با y نمایش دهیم، مجموعه تمام ابعاد ممکن برای باغچه شما عبارت است از ضرب دکارتی [4,6] × [2,3]. این یعنی هر نقطه (x,y) در این ناحیه مستطیلی، یک طرح ممکن برای باغچه شماست. اگر عرض را دقیقاً 2.5 متر و طول را 5 متر انتخاب کنید، نقطه (5,2.5) عضوی از این مجموعه است.
چالشهای مفهومی
اگر بازه اول فقط شامل عدد a باشد، یعنی I = [a,a]، و بازه دوم J = [c,d] باشد، آنگاه حاصل ضرب دکارتی مجموعه تمام نقاط (a,y) است که در آن c ≤ y ≤ d. این مجموعه در صفحه مختصات، یک پارهخط عمودی به طول d-c خواهد بود.
خیر، ضرب دکارتی خاصیت جابجایی ندارد. I × J مجموعه زوجهای (x,y) است، در حالی که J × I مجموعه زوجهای (y,x) را نشان میدهد. در صفحه مختصات، این دو ناحیه با یکدیگر متفاوت هستند، مگر در موارد خاصی که I = J و بازهها متقارن باشند.
ضرب دکارتی سه بازه I × J × K مجموعه تمام سهتاییهای مرتب (x,y,z) است. این مجموعه در فضای سهبعدی یک مکعب مستطیل (مخزن) را تشکیل میدهد. برای مثال، [0,2] × [1,3] × [0,1] یک جعبه مستطیلی در فضای سهبعدی است.
ضرب دکارتی بازهها ابزاری ساده و قدرتمند برای تعریف نواحی مستطیلی در دستگاه مختصات است. با ضرب دو بازه (چه باز، چه بسته) در یکدیگر، مجموعهای از نقاط به دست میآید که یک ناحیه مستطیلی با اضلاع موازی محورها را تشکیل میدهد. این مفهوم پایهای برای درک موضوعات پیشرفتهتری مانند انتگرالگیری دوگانه، توابع چندمتغیره و بهینهسازی در ریاضیات است. در زندگی روزمره نیز برای تعریف محدوده مجاز متغیرها در مسائل طراحی و مهندسی کاربرد فراوان دارد.
پاورقی
1 بازه (Interval): مجموعهای از اعداد حقیقی بین دو نقطه داده شده که ممکن است شامل نقاط انتهایی باشد یا نباشد.
2 ضرب دکارتی (Cartesian Product): عملیات روی مجموعهها که حاصل آن مجموعه تمام زوجهای مرتب ممکن با مؤلفه اول از مجموعه اول و مؤلفه دوم از مجموعه دوم است.
3 دستگاه مختصات (Coordinate System): سیستمی برای تعیین موقعیت نقاط با استفاده از اعداد.
4 زوج مرتب (Ordered Pair): دو شیء که ترتیب آنها اهمیت دارد و به صورت (a,b) نوشته میشود.
