تعیین علامت: مشخص کردن مثبت، منفی، صفر یا تعریف‌نشده بودن مقدار یک عبارت در بازه‌های مختلف x

تعیین علامت عبارت‌های جبری: از صفر تا صد

گام نخست: تعیین علامت عبارت‌های درجه اول

عبارت درجه اول به شکل کلی $ax + b$ است که در آن $a \neq 0$. برای تعیین علامت این عبارت، تنها یک ریشه (صفرکننده) به صورت $x_0 = -\frac{b}{a}$ داریم. قانون اصلی بسیار ساده است:

• اگر $a \gt 0$ باشد، عبارت برای مقادیر $x \gt x_0$ مثبت و برای $x \lt x_0$ منفی است.
• اگر $a \lt 0$ باشد، این حالت برعکس می‌شود: عبارت برای $x \gt x_0$ منفی و برای $x \lt x_0$ مثبت است.

به عبارت دیگر، علامت عبارت در دو سمت ریشه، مخالف یکدیگر و وابسته به علامت ضریب a است. برای درک بهتر، مثال $2x - 4$ را در نظر بگیرید . ریشه آن $x_0 = 2$ است. چون $a = 2 \gt 0$، برای $x \gt 2$ عبارت مثبت و برای $x \lt 2$ منفی خواهد بود. اگر عبارت $-3x + 6$ را داشته باشیم، ریشه $x_0 = 2$ است. با $a = -3 \lt 0$، برای $x \gt 2$ عبارت منفی و برای $x \lt 2$ مثبت است.

قلب ماجرا: تعیین علامت عبارت‌های درجه دوم و نقش سرنوشت‌ساز دلتا

عبارت درجه دوم به فرم استاندارد $ax^2 + bx + c$ با $a \neq 0$ است. برخلاف عبارت درجه اول، اینجا ممکن است صفر، یک یا دو ریشه حقیقی داشته باشیم. تعداد ریشه‌ها توسط «ممیز» یا «دلتا»³ ($\Delta = b^2 - 4ac$) تعیین می‌شود . قانون تعیین علامت بر اساس دلتا و علامت $a$ به شرح زیر است :

• حالت اول: $\Delta \gt 0$ (دو ریشه متمایز $x_1 \lt x_2$): علامت عبارت «بین دو ریشه» مخالف علامت $a$ و «خارج از دو ریشه» موافق علامت $a$ است .
• حالت دوم: $\Delta = 0$ (یک ریشه مضاعف $x_0$): علامت عبارت در همه نقاط به جز ریشه، موافق علامت $a$ است (در ریشه، عبارت صفر است) .
• حالت سوم: $\Delta \lt 0$ (بدون ریشه حقیقی): علامت عبارت برای تمام مقادیر $x$ ثابت و موافق علامت $a$ است .

بیایید با چند مثال این قوانین را بررسی کنیم. عبارت $x^2 - 5x + 6$ را در نظر بگیرید. دلتای آن $\Delta = 1 \gt 0$ و ریشه‌هایش $x_1=2$ و $x_2=3$ است. چون $a=1 \gt 0$، علامت عبارت در بازه $(2,3)$ منفی و در بازه‌های $(-\infty,2)$ و $(3,+\infty)$ مثبت است . به همین سادگی!

جدول تعیین علامت: ابزاری قدرتمند برای عبارت‌های ترکیبی و کسری

وقتی با حاصل‌ضرب یا تقسیم چند عبارت جبری روبرو هستیم، بهترین ابزار «جدول تعیین علامت» است. مراحل کار به این شرح است :

1. ریشه‌یابی: ریشه‌های هر یک از عبارت‌های سازنده (صورت‌ها و مخرج‌ها) را به دست می‌آوریم.
2. مرتب‌سازی: تمام ریشه‌ها را به ترتیب از کوچک به بزرگ در سطر اول جدول می‌نویسیم.
3. تعیین علامت هر عبارت: علامت هر عبارت سازنده را در هر بازه (با استفاده از قوانین بالا) مشخص می‌کنیم. به ازای ریشه‌ها، عبارت‌ها صفر می‌شوند. اگر ریشه در مخرج باشد، در آن نقطه عبارت اصلی تعریف‌نشده است که با علامت «ت ن» نشان می‌دهیم .
4. علامت نهایی: در هر بازه، علامت عبارت اصلی از ضرب علامت‌های تک‌تک عبارت‌ها به دست می‌آید (قانون ضرب علامت‌ها در ریاضی).

برای مثال، نامعادله $\frac{x+3}{x-1} \ge 0$ را در نظر بگیرید . ریشه صورت $x=-3$ و ریشه مخرج $x=1$ است. با رسم جدول و بررسی علامت‌ها، به سادگی می‌توان بازه‌های مثبت و منفی را یافت. در این مثال، عبارت برای $x \le -3$ یا $x \gt 1$ نامنفی (مثبت یا صفر) است.

کاربرد عملی: فراتر از یک مفهوم نظری

تعیین علامت فقط یک تمرین کلاسی نیست، بلکه ابزاری حیاتی در حل مسائل دنیای واقعی است. فرض کنید در حال محاسبه سود یک شرکت هستید. تابع سود $P(x) = -x^2 + 50x - 400$ (بر حسب میلیون تومان) است که در آن $x$ تعداد محصول تولیدی است. با تعیین علامت این عبارت درجه دوم می‌توانید به سرعت بازه تولیدی را که شرکت به سوددهی می‌رسد (تابع مثبت) و بازه‌ای که دچار زیان می‌شود (تابع منفی) پیدا کنید. ریشه‌های معادله $x=10$ و $x=40$ نقاط سر به سر هستند. از آنجایی که $a=-1 \lt 0$، سود برای $10 \lt x \lt 40$ مثبت و در خارج از این بازه منفی است.

چالش‌های مفهومی

پاورقی