نمودار مختصاتی: پلی از جبر به هندسه
با نمایش زوجهای مرتب به صورت نقطه، مفاهیم جبری را به زبان تصویری هندسه ترجمه میکنیم.
در این مقاله با دستگاه مختصات قائم (کارتزین)[1] آشنا میشویم و یاد میگیریم که چگونه هر زوج مرتب از اعداد را به یک نقطهٔ منحصربهفرد روی صفحه تبدیل کنیم. با بررسی مؤلفهها، ناحیههای چهارگانه و کاربردهای آن در زندگی روزمره، درک عمیقی از این مفهوم پایهای ریاضی به دست خواهید آورد.
۱. دستگاه مختصات: خط کشی برای صفحه
برای مشخص کردن مکان یک نقطه روی یک صفحه، به دو خط عددی جهتدار عمود بر هم نیاز داریم. محور افقی را محور x (طول) و محور عمودی را محور y (عرض) مینامیم. نقطهٔ برخورد این دو محور، مبدأ مختصات[2] است که با زوج مرتب $(0,0)$ نمایش داده میشود. این دو محور، صفحه را به چهار ناحیهٔ مجزا به نام ربعها[3] تقسیم میکنند. هر نقطه در صفحه با یک زوج مرتب مانند $(x , y)$ نمایش داده میشود که در آن $x$ فاصلهٔ افقی از مبدأ و $y$ فاصلهٔ عمودی از مبدأ است.
? نکته: اولین عدد در زوج مرتب ($x$) همیشه نشاندهندهٔ موقعیت افقی و دومین عدد ($y$) نشاندهندهٔ موقعیت عمودی است. ترتیب اعداد بسیار مهم است؛ نقطهٔ $(3,4)$ با نقطهٔ $(4,3)$ کاملاً متفاوت است.
۲. ناحیههای چهارگانه (ربعها) و علامت مؤلفهها
محورهای مختصات، صفحه را به چهار ربع تقسیم میکنند. شمارهگذاری ربعها معمولاً در خلاف جهت عقربههای ساعت از ربع اول شروع میشود. علامت مؤلفههای $x$ و $y$ تعیین میکند که یک نقطه در کدام ربع قرار میگیرد.| ربع | علامت $x$ | علامت $y$ | مثال |
|---|---|---|---|
| ربع اول (I) | مثبت (+) | مثبت (+) | $(2,3)$ |
| ربع دوم (II) | منفی (-) | مثبت (+) | $(-4,1)$ |
| ربع سوم (III) | منفی (-) | منفی (-) | $(-5,-2)$ |
| ربع چهارم (IV) | مثبت (+) | منفی (-) | $(6,-3)$ |
۳. گامهای عملی رسم یک نقطه
برای نمایش یک زوج مرتب مانند $(a , b)$ روی صفحه، دو گام ساده را دنبال میکنیم:- گام اول (حرکت افقی): از مبدأ $(0,0)$ شروع کرده و به اندازهٔ $|a|$ واحد در جهت محور $x$ حرکت میکنیم. اگر $a \gt 0$ به سمت راست و اگر $a \lt 0$ به سمت چپ میرویم.
- گام دوم (حرکت عمودی): از نقطهای که در گام اول رسیدهایم، به اندازهٔ $|b|$ واحد در جهت محور $y$ حرکت میکنیم. اگر $b \gt 0$ به سمت بالا و اگر $b \lt 0$ به سمت پایین میرویم.
۴. کاربرد عملی: نقشهی یک شهر و مختصات جغرافیایی
یکی از سادهترین و ملموسترین کاربردهای دستگاه مختصات، استفاده از آن در نقشهخوانی است. تصور کنید یک شهر به صورت یک شبکهٔ خیابانی منظم طراحی شده است. خیابانهای شمالی-جنوبی (طول جغرافیایی) را میتوان به محور $x$ و خیابانهای شرقی-غربی (عرض جغرافیایی) را به محور $y$ تشبیه کرد. تقاطع دو خیابان، یک زوج مرتب است که مکان دقیق یک ساختمان یا مکان دیدنی را مشخص میکند. برای مثال، اگر کتابخانهٔ مرکزی شهر در تقاطع خیابان $4$ شرقی و خیابان $2$ شمالی واقع شده باشد، میتوان آن را با زوج مرتب $(4,2)$ نمایش داد. این روش مکانیابی، پایهٔ سیستمهای مسیریاب مدرن و فناوری GPS است که با استفاده از طول و عرض جغرافیایی (دستگاهی کروی از مختصات) کار میکنند.۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
? چالش ۱: تفاوت بین نقطههای $(5, -5)$ و $(-5, 5)$ چیست؟
پاسخ: این دو نقطه در دو ربع متفاوت قرار دارند. نقطهٔ $(5, -5)$ با $x$ مثبت و $y$ منفی در ربع چهارم قرار دارد. در حالی که نقطهٔ $(-5, 5)$ با $x$ منفی و $y$ مثبت در ربع دوم واقع است. این تفاوت نشان میدهد که ترتیب نگارش اعداد در یک زوج مرتب، موقعیت نهایی نقطه را کاملاً تغییر میدهد.
پاسخ: این دو نقطه در دو ربع متفاوت قرار دارند. نقطهٔ $(5, -5)$ با $x$ مثبت و $y$ منفی در ربع چهارم قرار دارد. در حالی که نقطهٔ $(-5, 5)$ با $x$ منفی و $y$ مثبت در ربع دوم واقع است. این تفاوت نشان میدهد که ترتیب نگارش اعداد در یک زوج مرتب، موقعیت نهایی نقطه را کاملاً تغییر میدهد.
? چالش ۲: مختصات نقطهای که روی محور $y$ و در فاصلهٔ $4$ واحدی زیر مبدأ قرار دارد چیست؟
پاسخ: هر نقطهای که روی محور $y$ قرار دارد، مؤلفهٔ $x$ آن برابر صفر است. از آنجا که نقطه در زیر مبدأ قرار دارد، مؤلفهٔ $y$ آن منفی خواهد بود. بنابراین مختصات نقطه $(0, -4)$ است.
پاسخ: هر نقطهای که روی محور $y$ قرار دارد، مؤلفهٔ $x$ آن برابر صفر است. از آنجا که نقطه در زیر مبدأ قرار دارد، مؤلفهٔ $y$ آن منفی خواهد بود. بنابراین مختصات نقطه $(0, -4)$ است.
? چالش ۳: اگر زوج مرتبی مانند $(k, 2k)$ داشته باشیم، با تغییر $k$ (یک عدد حقیقی) نقاط متناظر چه ویژگی مشترکی دارند؟
پاسخ: با تغییر $k$، مختصات نقاط تغییر میکند، اما یک رابطهٔ خطی بین آنها برقرار است: مؤلفهٔ $y$ هر نقطه همواره دو برابر مؤلفهٔ $x$ آن است ($y = 2x$). بنابراین تمام این نقاط روی یک خط راست که از مبدأ $(0,0)$ میگذرد، قرار میگیرند.
پاسخ: با تغییر $k$، مختصات نقاط تغییر میکند، اما یک رابطهٔ خطی بین آنها برقرار است: مؤلفهٔ $y$ هر نقطه همواره دو برابر مؤلفهٔ $x$ آن است ($y = 2x$). بنابراین تمام این نقاط روی یک خط راست که از مبدأ $(0,0)$ میگذرد، قرار میگیرند.
دستگاه مختصات، زبانی مشترک بین جبر و هندسه است. با یادگیری آن، میتوانیم معادلات را به شکل تصاویر هندسی ببینیم و مسائل هندسی را با روشهای جبری حل کنیم. از رسم یک نقطهٔ ساده گرفته تا ترسیم نمودار توابع پیچیده و حتی مسیریابی در سطح کرهٔ زمین، همگی بر پایهٔ همین مفهوم ساده و در عین حال قدرتمند استوارند.
پاورقی
[1]دستگاه مختصات کارتزین (Cartesian Coordinate System): سیستمی برای تعیین نقاط در صفحه با استفاده از دو عدد (مختصات) که فاصلهٔ آن نقطه را از دو محور عمود بر هم نشان میدهد. نام آن از ریاضیدان فرانسوی، رنه دکارت، گرفته شده است.
[2]مبدأ مختصات (Origin): نقطهای که محور $x$ و محور $y$ یکدیگر را قطع میکنند و مختصات آن $(0,0)$ است.
[3]ربعها (Quadrants): چهار ناحیهای که محورهای مختصات، صفحه را تقسیم میکنند. شماره آنها از بالا سمت راست (ربع اول) شروع و در خلاف جهت عقربههای ساعت ادامه مییابد.
[2]مبدأ مختصات (Origin): نقطهای که محور $x$ و محور $y$ یکدیگر را قطع میکنند و مختصات آن $(0,0)$ است.
[3]ربعها (Quadrants): چهار ناحیهای که محورهای مختصات، صفحه را تقسیم میکنند. شماره آنها از بالا سمت راست (ربع اول) شروع و در خلاف جهت عقربههای ساعت ادامه مییابد.
