مجموعه زوجهای مرتب: پلی بین روابط و توابع
زوج مرتب چیست؟
در زندگی روزمره، برای توصیف موقعیت یک نقطه در صفحه، از دو عدد استفاده میکنیم: یکی برای عرض و یکی برای طول. ترتیب این دو عدد مهم است؛ مثلاً مختصات (2,3) با (3,2) متفاوت است. در ریاضیات به این مفهوم زوج مرتب میگوییم. یک زوج مرتب از دو عضو a و b به صورت $(a, b)$ نمایش داده میشود که در آن a مؤلفهٔ اول (یا پیشنگاشت) و b مؤلفهٔ دوم (یا تصویر) نامیده میشود. خاصیت اصلی زوج مرتب این است که اگر $(a, b) = (c, d)$ آنگاه $a = c$ و $b = d$. این ویژگی ساده، اساس بسیاری از ساختارهای ریاضی مانند دستگاه مختصات، روابط و توابع است.
از زوجهای مرتب تا یک رابطه
هرگاه مجموعهای از زوجهای مرتب داشته باشیم، در واقع یک رابطه[1] را تعریف کردهایم. رابطه یک قانون یا تناظر بین اعضای دو مجموعه (یا یک مجموعه با خودش) را نشان میدهد. برای مثال، فرض کنید رابطهٔ "برادر بودن" را در نظر بگیریم. اگر علی برادرِ رضا باشد، این رابطه را با زوج مرتب (علی, رضا) نشان میدهیم. اگر این رابطه را برای چند نفر داشته باشیم، مجموعهای از این زوجها خواهیم داشت که بیانگر رابطهٔ "برادری" است.
به صورت کلی، اگر دو مجموعه $A$ و $B$ داشته باشیم، یک رابطهٔ $R$ از $A$ به $B$ زیرمجموعهای از حاصلضرب دکارتی$A \times B$ است (یعنی مجموعهٔ تمام زوجهای مرتبی که مؤلفهٔ اول از A و مؤلفهٔ دوم از B باشد). به عنوان مثال:
تابع: رابطهای با یک قانون ویژه
در میان تمام رابطهها، نوع خاصی وجود دارد که در ریاضیات و علوم بسیار پرکاربرد است: تابع[2]. یک تابع رابطهای است که به هر عضو از مجموعهٔ اول (که دامنه نامیده میشود)، دقیقاً یک عضو از مجموعهٔ دوم (که همدامنه$^3$ نامیده میشود) را نسبت میدهد. به زبان زوجهای مرتب، در یک تابع هیچ دو زوج متمایزی نمیتوانند مؤلفهٔ اول یکسان داشته باشند.
برای مثال، رابطهٔ $R_1 = \{(1,2), (2,3), (3,4)\}$ یک تابع است، زیرا هر مؤلفهٔ اول (1، 2 و 3) فقط یک بار تکرار شده است. اما رابطهٔ $R_2 = \{(1,2), (1,3), (2,4)\}$ یک تابع نیست، چون مؤلفهٔ اول 1 دو تصویر متفاوت 2 و 3 دارد.
دامنه و برد: قلمرو یک رابطه و تابع
هر مجموعه از زوجهای مرتب (چه رابطه باشد و چه تابع) دو مجموعهٔ مهم به نامهای دامنه[4] و برد[5] دارد.
- دامنه مجموعهای است از تمام مؤلفههای اول زوجهای مرتب. به عبارت دیگر، ورودیهایی که برای رابطه تعریف شدهاند.
- برد مجموعهای است از تمام مؤلفههای دوم زوجهای مرتب. یعنی خروجیهایی که رابطه تولید میکند.
برای رابطهٔ $R = \{(1,5), (2,8), (3,5), (4,7)\}$، دامنه برابر $\{1,2,3,4\}$ و برد برابر $\{5,8,7\}$ است. توجه کنید که عدد 5 دو بار تکرار شده، اما در مجموعهٔ برد فقط یک بار نوشته میشود.
| مفهوم | تعریف بر اساس زوجهای مرتب | شرط ویژه | مثال نقض |
|---|---|---|---|
| رابطه | هر مجموعه از زوجهای مرتب | ندارد | --- |
| تابع | مجموعهای از زوجهای مرتب با مؤلفههای اول یکتا | هر $x$ فقط یک $y$ دارد. | {(1,2), (1,3)} |
کاربرد عملی: ماشین خودپرداز به عنوان یک تابع
فرض کنید به یک دستگاه خودپرداز مراجعه کردهاید. این دستگاه بر اساس دکمههایی که فشار میدهید (ورودی)، به شما خدمات مشخصی (خروجی) ارائه میدهد. اگر دکمهٔ 1 (دریافت وجه) را بزنید، دستگاه از شما میخواهد مبلغ را وارد کنید و سپس پول پرداخت میکند. این تناظر را میتوان به صورت مجموعهای از زوجهای مرتب نشان داد:
$\{ (1, \text{دریافت وجه}), (2, \text{موجودی}), (3, \text{انتقال وجه}), (4, \text{پرینت})\}$
این مجموعه یک تابع است، زیرا هر کد عملیات (مثلاً 1) فقط و فقط به یک خدمت خاص (دریافت وجه) مرتبط میشود و نمیتواند دو خدمت متفاوت را همزمان به شما بدهد.
چالشهای مفهومی
پاورقیها
- 1 Relation: در ریاضیات، رابطه تناظری بین اعضای دو مجموعه است که به صورت مجموعهای از زوجهای مرتب نمایش داده میشود.
- 2 Function: نوع خاصی از رابطه که در آن هر عضو دامنه به دقیقاً یک عضو برد متصل میشود. به آن تابع یا نگاشت نیز میگویند.
- 3 Codomain: مجموعهای که اعضای دوم زوجهای مرتب از آن انتخاب میشوند. لزومی ندارد همهٔ اعضای همدامنه در تصویر شرکت کنند.
- 4 Domain: مجموعهای شامل تمام ورودیهای ممکن برای یک رابطه یا تابع.
- 5 Range: مجموعهای شامل تمام خروجیهای یک رابطه یا تابع.
