نمایش تابع به صورت جدول: پلی از ورودی به خروجی
۱. تابع چیست و چرا به جدول نیاز داریم؟
در ریاضیات، تابععملکرد را میتوان یک ماشین ورودی-خروجی در نظر گرفت. این ماشین یک قانون مشخص دارد: به ازای هر ورودی که به آن بدهیم، دقیقاً یک خروجی به ما تحویل میدهد. یکی از سادهترین راهها برای نمایش این ماشین، استفاده از جدول است. جدول به ما کمک میکند تا رابطهٔ بین ورودیها و خروجیها را به صورت منظم و دیداری ببینیم.
برای مثال، فرض کنید تابعی داریم که عدد ورودی را دریافت کرده و دو برابر آن را به عنوان خروجی برمیگرداند. اگر ورودیهای 1, 2, 3, 4 را به ماشین بدهیم، خروجیها به ترتیب 2, 4, 6, 8 خواهند بود. این رابطه را میتوانیم به راحتی در یک جدول دوستونهای نمایش دهیم:
| ورودی (x) | خروجی (2x) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
همانطور که میبینید، هر سطر از جدول یک جفت مرتب (ورودی، خروجی) را نشان میدهد و هیچ ورودی تکراری با خروجی متفاوت وجود ندارد. این همان قانون اساسی تابع است: هر ورودی فقط یک خروجی دارد.
۲. اعضای جدول: دامنه، برد و قانون تابع
یک جدول تابع از سه بخش اصلی تشکیل شده است: ستون ورودیها، ستون خروجیها، و قانونی که این دو را به هم مرتبط میکند. در اصطلاح ریاضی، به مجموعهٔ همهٔ ورودیها دامنهDomain و به مجموعهٔ همهٔ خروجیهای متناظر، بردRange تابع گفته میشود. قانون تابع نیز همان عملیاتی است که روی ورودی انجام میشود تا خروجی حاصل گردد.
برای درک بهتر، به مثال زیر توجه کنید. فرض کنید تابع f(x) = x + 3 داریم. جدول زیر این تابع را برای ورودیهای -2, 0, 1, 5 نشان میدهد:
| ورودی (x) | خروجی (x+3) |
|---|---|
| -2 | 1 |
| 0 | 3 |
| 1 | 4 |
| 5 | 8 |
در اینجا دامنه، مجموعه {-2, 0, 1, 5} و برد مجموعه {1, 3, 4, 8} است. قانون تابع نیز f(x) = x + 3 میباشد. دقت کنید که اگر یک ورودی مثل 2 در دامنه نباشد، در جدول ظاهر نمیشود.
۳. نمایش توابع مختلف با جدول (چند مثال متنوع)
برای تسلط بیشتر، بیایید چند تابع دیگر را با روش جدولی بررسی کنیم. هر تابع قانون منحصر به فرد خود را دارد و جدول به خوبی آن را نشان میدهد.
مثال اول: تابع قدر مطلق f(x) = |x|
| ورودی (x) | خروجی (|x|) |
|---|---|
| -3 | 3 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 2 | 2 |
| 4 | 4 |
مثال دوم: تابع مربع f(x) = x^2. توجه کنید که در این تابع، دو ورودی متفاوت ممکن است خروجی یکسانی داشته باشند (مثلاً -2 و 2 هر دو خروجی 4 دارند). این موضوع منافاتی با تعریف تابع ندارد، زیرا قانون «هر ورودی یک خروجی» همچنان برقرار است.
| ورودی (x) | خروجی (x^2) |
|---|---|
| -3 | 9 |
| -2 | 4 |
| 0 | 0 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
۴. کاربرد عملی: جدول نمرات دانشآموزان
حالا بیایید یک مثال عملی و ملموس از زندگی روزمره را بررسی کنیم. فرض کنید معلمی میخواهد رابطهٔ بین شمارهٔ دانشآموزی و نمرهٔ نهایی او را در قالب یک تابع نمایش دهد. در اینجا شمارهٔ دانشآموزی ورودی و نمره خروجی تابع است. هر دانشآموز (ورودی) فقط یک نمره (خروجی) دارد، بنابراین این رابطه یک تابع است. جدول زیر این رابطه را نشان میدهد:
| شمارهٔ دانشآموزی | نمرهٔ نهایی (از 20) |
|---|---|
| 401 | 18 |
| 402 | 15 |
| 403 | 20 |
| 404 | 16 |
| 405 | 17 |
این جدول به ما میگوید که اگر شمارهٔ دانشآموزی 403 را به عنوان ورودی به «تابع نمرهدهی» بدهیم، خروجی 20 خواهد بود. این یک نمایش بسیار ساده و کاربردی از یک تابع در دنیای واقعی است.
۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
✅ پاسخ: بله، این اتفاق کاملاً مجاز است. در تابع، شرط اصلی این است که هر ورودی فقط یک خروجی داشته باشد. این که دو ورودی متفاوت خروجی یکسانی داشته باشند، مشکلی ایجاد نمیکند. برای نمونه، در تابع مربع که دیدیم، f(2)=4 و f(-2)=4 است.
✅ پاسخ: در یک رابطهٔ غیرتابع، ممکن است یک ورودی به دو خروجی متفاوت متصل شود. مثلاً اگر در جدول نمرات، دانشآموزی با شمارهٔ 402 دو نمرهٔ مختلف 15 و 18 داشته باشد، آن جدول یک تابع نیست. در جدول توابع، ستون ورودیها هیچ مقدار تکراری ندارد، یا اگر تکراری داشته باشد، خروجیهای آن باید کاملاً یکسان باشند.
✅ پاسخ: با بررسی رابطهٔ بین اعداد ستون ورودی و خروجی میتوان به یک الگو رسید. مثلاً اگر ببینید با افزایش ورودی به میزان 1 واحد، خروجی نیز به میزان ثابتی افزایش مییابد، احتمالاً تابع به صورت f(x)=ax+b است. اگر خروجیها توان دوم ورودیها باشند، تابع به صورت f(x)=x^2 است. اما گاهی پیدا کردن قانون از روی چند دادهٔ محدود ممکن نیست و به دادههای بیشتری نیاز داریم.
۶. جدول در مقابل سایر روشهای نمایش تابع
توابع را معمولاً به چهار روش میتوان نمایش داد: گزارهای (کلامی)، جدولی، رسم منحنی (نمودار) و جبری (فرمول). هر کدام مزایا و معایب خود را دارند. جدول به خصوص وقتی تعداد ورودیها محدود است، یک نمای کلی و دقیق از رابطه ارائه میدهد. برای مقایسه بهتر، به جدول زیر توجه کنید:
