فاکتورگیری در جبر مجموعهها: از عبارت توزیعشده تا شکل جمعوجور
مفهوم فاکتورگیری: از جبر اعداد تا جبر مجموعهها
در جبر اعداد، عبارت xy + xz را به صورت x(y + z) مینویسیم. در اینجا x عامل مشترک است و با خارج کردن آن، عبارت سادهتر میشود. در جبر مجموعهها نیز وضعیت مشابهی داریم، با این تفاوت که عملگرهای ما «اجتماع» (∪) و «اشتراک» (∩) هستند و عامل مشترک یک مجموعه است.
برای مثال، عبارت (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) را در نظر بگیرید. در اینجا مجموعه A در هر دو بخش عبارت، در اشتراک با مجموعههای دیگر شرکت کرده است. درست مانند جبر اعداد، میتوانیم A را به عنوان عامل مشترک بیرون بکشیم و عبارت را به صورت فشرده A ∩ (B ∪ C) بنویسیم. این عمل بر اساس قانون پخشپذیری (توزیعپذیری) اشتراک بر روی اجتماع است.
نکته کلیدی فاکتورگیری در مجموعهها، درک متقابل دو قانون توزیعپذیری است:
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (پخشپذیری اشتراک بر روی اجتماع)
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (پخشپذیری اجتماع بر روی اشتراک)
دو چهره فاکتورگیری: اشتراک و اجتماع به عنوان عامل مشترک
فاکتورگیری در مجموعهها محدود به بیرون کشیدن یک مجموعه ساده نیست. گاهی عامل مشترک میتواند خود یک عبارت مجموعهای باشد. همچنین بسته به ساختار عبارت، ممکن است بخواهیم اشتراک یا اجتماع را فاکتور بگیریم. درک هر دو حالت برای تسلط بر این مبحث ضروری است.
| نوع فاکتورگیری | عبارت توزیعشده | شکل فاکتورگیریشده | قانون متناظر |
|---|---|---|---|
| فاکتورگیری اشتراک | (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) | A ∩ (B ∪ C) | پخشپذیری اشتراک بر اجتماع |
| فاکتورگیری اجتماع | (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) | A ∪ (B ∩ C) | پخشپذیری اجتماع بر اشتراک |
| عامل مشترک ترکیبی | (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) | فاقد عامل مشترک ساده | نیازمند روشهای دیگر |
همانطور که در ردیف سوم جدول میبینید، همیشه نمیتوان یک عامل مشترک ساده پیدا کرد. گاهی عبارت به شکلهای دیگری مانند (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) است که در نگاه اول، مجموعهای مانند A در همه جملات تکرار نشده است. فاکتورگیری در این موارد به شناسایی الگوهای پیچیدهتر یا استفاده از قوانین دیگر نیاز دارد.
کاربرد عملی: اثبات تساویها و سادهسازی مسائل
یکی از مهمترین کاربردهای فاکتورگیری در اثبات قوانین جبر مجموعهها و سادهسازی عبارات غولپیکر است. فرض کنید میخواهیم تساوی زیر را اثبات کنیم:
(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = A ∩ (B ∪ C)
در نگاه اول شاید پیچیده به نظر برسد، اما با چند مرحله فاکتورگیری ساده میشود:
- در دو جمله اول، (A ∩ B) عامل مشترک است: (A ∩ B) ∩ C با (A ∩ B) ترکیب میشود. اما دقیقتر این است که کل عبارت را بازنویسی کنیم.
- عبارت اصلی را به صورت [ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B) ] ∪ (A ∩ C) مینویسیم.
- از پرانتز اول، (A ∩ B) را فاکتور میگیریم: (A ∩ B) ∩ (C ∪ U) که U مجموعه جهانی است. اما (A ∩ B) ∩ (C ∪ U) = (A ∩ B) ∩ U = A ∩ B. بنابراین پرانتز اول به A ∩ B ساده شد.
- حال عبارت داریم: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). با فاکتورگیری A خواهیم داشت: A ∩ (B ∪ C). تساوی اثبات شد.
این مثال نشان میدهد که چگونه با چند بار فاکتورگیری، یک عبارت به ظاهر پیچیده به شکلی بسیار ساده و زیبا تبدیل میشود.
چالشهای مفهومی
۱. آیا همیشه میتوان در یک عبارت مجموعهای فاکتورگیری کرد؟
خیر. فاکتورگیری زمانی ممکن است که یک مجموعه یا یک عبارت مجموعهای در همه بخشهای یک اجتماع یا اشتراک تکرار شده باشد. برای مثال در عبارت (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) هیچ عامل مشترکی وجود ندارد، مگر اینکه با استفاده از قوانین دیگری مثل پخشپذیری معکوس، آن را به شکل دیگری بنویسیم.
۲. تفاوت فاکتورگیری در جبر اعداد و جبر مجموعهها چیست؟
در جبر اعداد، عملگرها ضرب و جمع هستند و عامل مشترک یک عدد. در جبر مجموعهها، عملگرها اشتراک و اجتماع هستند و عامل مشترک یک مجموعه. همچنین قانون پخشپذیری در مجموعهها دوطرفه است (هم اشتراک بر اجتماع پخش میشود و هم اجتماع بر اشتراک)، در حالی که در اعداد، ضرب بر جمع پخش میشود ولی جمع بر ضرب پخش نمیشود (x + (y × z) ≠ (x + y) × (x + z)).
۳. چگونه بفهمیم که اشتراک را فاکتور بگیریم یا اجتماع را؟
به ساختار عبارت نگاه کنید. اگر عبارت به صورت اجتماع چند اشتراک باشد (مانند (X∩Y) ∪ (X∩Z))، به دنبال یک مجموعه بگردید که در همه اشتراکها تکرار شده است (در اینجا X) و آن را با اشتراک با اجتماع بقیه فاکتور بگیرید. اگر عبارت به صورت اشتراک چند اجتماع بود (مانند (X∪Y) ∩ (X∪Z))، مجموعه تکراری (X) را با اجتماع با اشتراک بقیه فاکتور بگیرید.
پاورقی
1 جبر مجموعهها (Algebra of Sets): شاخهای از ریاضیات که به مطالعه عملیات روی مجموعهها، مانند اجتماع، اشتراک، تفاضل و مکمل، و روابط بین آنها میپردازد.
2 قانون پخشپذیری یا توزیعپذیری (Distributive Law): خاصیتی در ساختارهای جبری که بیان میکند یک عملگر نسبت به عملگر دیگر پخش میشود.
3 اشتراک (Intersection): مجموعهای شامل اعضایی که به طور همزمان در هر دو مجموعه مورد نظر وجود دارند.
4 اجتماع (Union): مجموعهای شامل تمام اعضایی که در یکی از دو مجموعه مورد نظر (یا هر دو) وجود دارند.
