اتحاد دو مجموعه: مفهوم، نمادها و کاربردها
۱. مفهوم اتحاد (اجتماع) دو مجموعه
در نظریه مجموعهها، اتحاد دو مجموعه مانند A و B، مجموعهای است از تمام عناصری که حداقل در یکی از دو مجموعه A یا B عضو باشند. به عبارت دیگر، اگر عنصری در A باشد، در B باشد، یا در هر دو باشد، آن عنصر در مجموعه حاصل از اتحاد قرار میگیرد. این عمل با نماد $ \cup $ نمایش داده میشود و به صورت $ A \cup B $ خوانده میشود.
برای درک بهتر، فرض کنید A مجموعه دانشآموزانی است که فوتبال دوست دارند و B مجموعه دانشآموزانی است که والیبال دوست دارند. در این صورت، $ A \cup B $ مجموعه تمام دانشآموزانی خواهد بود که حداقل یکی از این دو ورزش را دوست دارند. اگر دانشآموزی هر دو ورزش را دوست داشته باشد، او نیز در این مجموعه عضو خواهد بود.
مثال عددی: فرض کنید $ A = \{1, 2, 3, 4\} $ و $ B = \{3, 4, 5, 6\} $. در این صورت اعضای مشترک (اشتراک) دو مجموعه $ \{3, 4\} $ است. اما اجتماع آنها، تمام اعداد منحصر به فرد هر دو مجموعه را در خود دارد: $ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $. توجه کنید که اعداد 3 و 4 که در هر دو مجموعه بودند، فقط یک بار در اجتماع نوشته میشوند.
۲. نمایش با نمودار ون و ویژگیهای اتحاد
نمودار ون2 بهترین ابزار برای نمایش بصری عملیات روی مجموعهها است. در این نمودار، هر مجموعه با یک دایره نمایش داده میشود. ناحیهای که مربوط به $ A \cup B $ است، تمام قسمتهای هر دو دایره را شامل میشود. این ناحیه حتی بخش اشتراک (محل تلاقی دو دایره) را نیز در بر میگیرد.
عمل اتحاد دارای ویژگیهای جالبی است که درک آن را عمیقتر میکند:
- خاصیت جابجایی: ترتیب مجموعهها مهم نیست. $ A \cup B = B \cup A $.
- خاصیت شرکتپذیری: در اتحاد چند مجموعه، نحوه گروهبندی اهمیت ندارد. $ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $.
- خاصیت خودتوانی: اتحاد یک مجموعه با خودش، خود آن مجموعه است. $ A \cup A = A $.
- اتحاد با مجموعه تهی: اگر مجموعهای با مجموعه تهی (مجموعهای بدون عضو) اجتماع داده شود، نتیجه خود آن مجموعه است. $ A \cup \varnothing = A $.
۳. اصل شمول و عدم شمول (تعداد اعضای اتحاد)
یکی از پرکاربردترین مباحث در مورد اتحاد مجموعهها، محاسبه تعداد اعضای آن است. اگر بخواهیم بدانیم چند عنصر در $ A \cup B $ وجود دارد، نمیتوانیم صرفاً تعداد اعضای A و B را با هم جمع کنیم، زیرا اعضای مشترک دو بار شمرده میشوند. برای رفع این مشکل، از فرمول اصل شمول و عدم شمول3 استفاده میکنیم.
در این فرمول، $n(X)$ نشاندهنده تعداد اعضای مجموعه X است.
به مثال اعداد قبل بازگردیم: $ n(A) = 4 $ (چهار عضو)، $ n(B) = 4 $ و $ n(A \cap B) = 2 $. اگر فرمول را اجرا کنیم: $ n(A \cup B) = 4 + 4 - 2 = 6 $ که همان تعداد اعضای مجموعهای است که قبلاً نوشتیم ($\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$).
۴. کاربرد عملی: نظرسنجی و آمار
فرض کنید در یک مدرسه، نظرسنجیای درباره علاقه دانشآموزان به دو رشته هنری انجام شده است. نتایج به این شرح است: از 120 دانشآموز، 70 نفر به موسیقی، 50 نفر به نقاشی و 20 نفر به هر دو رشته علاقه دارند. برای یافتن تعداد دانشآموزانی که حداقل به یکی از این دو رشته علاقه دارند، از فرمول اتحاد استفاده میکنیم: $ 70 + 50 - 20 = 100 $. یعنی 100 نفر حداقل به یکی از این دو رشته علاقه دارند. همچنین میتوان فهمید که 20 نفر به هیچکدام علاقه ندارند ($120 - 100 = 20$). این مثال نشان میدهد که چگونه مفهوم اتحاد در تحلیل دادههای آماری به کار میرود.
| نوع مجموعه | تعریف | نماد | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| اتحاد (اجتماع) | اعضای متعلق به A یا B | $A \cup B$ | $\{1,2,3,4,5,6\}$ |
| اشتراک | اعضای مشترک A و B | $A \cap B$ | $\{3,4\}$ |
| تفاضل | اعضای A که در B نیستند | $A - B$ | $\{1,2\}$ |
