بازهها: زبان ساده برای نمایش جواب نامعادلهها
۱. مبانی بازهها: تعریف و نمادگذاری
مجموعه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) شامل تمام اعداد روی محور بینهایت است. یک بازه زیرمجموعهای از اعداد حقیقی است که به صورت مجموعهای از اعداد بین دو نقطه (کران) تعریف میشود. برای نمایش بازه از پرانتز و کروشه استفاده میکنیم:
- ( ) : پرانتز نشاندهنده عدم عضویت کران در بازه (باز بودن) است.
- [ ] : کروشه نشاندهنده عضویت کران در بازه (بسته بودن) است.
در جدول زیر انواع بازهها، نماد و نمایش مجموعهای آنها مقایسه شده است:
| نام بازه | نماد بازه | نماد مجموعهای[1] | نمایش روی محور |
|---|---|---|---|
| بسته | $[a, b]$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$ | خط توپر از a تا b با نقطههای توپر در دو سر |
| باز | $(a, b)$ | $\{x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \lt b\}$ | خط توپر از a تا b با نقطههای توخالی در دو سر |
| نیمهباز (نیمهبسته) | $[a, b)$ یا $(a, b]$ | $\{x \mid a \le x \lt b\}$ یا $\{x \mid a \lt x \le b\}$ | خط توپر، یک سر توپر و یک سر توخالی |
| بینهایتدار | $[a, \infty)$ یا $(-\infty, b]$ | $\{x \mid x \ge a\}$ یا $\{x \mid x \le b\}$ | خطی که از یک نقطه شروع شده و تا بینهایت ادامه دارد |
نکته مهم: نماد $\infty$ (بینهایت) یک عدد نیست، بلکه یک مفهوم است. به همین دلیل، کنار آن همیشه از پرانتز استفاده میشود، زیرا نمیتوانیم به بینهایت برسیم یا آن را در مجموعه بگنجانیم.
۲. از نامعادله تا بازه: گامهای عملی
برای نوشتن جواب یک نامعادله به صورت بازه، مراحل زیر را به ترتیب انجام میدهیم:
- حل نامعادله: نامعادله را مانند یک معادله ساده حل میکنیم، با این تفاوت که اگر دو طرف نامعادله را در عدد منفی ضرب یا تقسیم کنیم، جهت نامعادله برعکس میشود.
- ترسیم خط اعداد (ذهنی یا عملی): جوابهای بهدستآمده را روی محور تصور میکنیم. مشخص میکنیم که کدام کرانها شامل جواب هستند (بسته) و کدامها خیر (باز).
- نوشتن بازه: با توجه به کرانهای بالا و پایین و وضعیت (باز یا بسته) بودن آنها، بازه را مینویسیم. اگر مجموعه جواب شامل چند قسمت مجزا باشد، از نماد اجتماع $\cup$ استفاده میکنیم.
بیایید این مراحل را با چند مثال ساده بررسی کنیم.
مثال ۱: نامعادله $2x - 4 \lt 6$ را حل کنید و جواب را به صورت بازه بنویسید.
حل گامبهگام:
- $2x - 4 \lt 6 \implies 2x \lt 10 \implies x \lt 5$.
- جواب همه اعداد کوچکتر از 5 است. عدد 5 خودش شامل نمیشود (چون علامت $\lt$ است).
- کران بالا 5 است که باز میباشد و کران پایین $-\infty$ است.
- بازه جواب:$(-\infty, 5)$.
مثال ۲: نامعادله $-3x \le 9$ را حل کنید.
- تقسیم بر $-3$ (عدد منفی) باعث برعکس شدن جهت نامعادله میشود: $x \ge -3$.
- جواب همه اعداد بزرگتر یا مساوی $-3$ است. خود $-3$ شامل میشود.
- کران پایین $-3$ (بسته) و کران بالا $+\infty$.
- بازه جواب:$[-3, \infty)$.
۳. کاربرد عملی: تعیین دامنه توابع و نامعادلات همزمان
یکی از مهمترین کاربردهای بازهها، نوشتن دامنه توابع و جواب دستگاه نامعادلات است. فرض کنید میخواهیم دامنه تابع $f(x)=\sqrt{x-2}$ را پیدا کنیم. میدانیم که عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:
- $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
- بنابراین دامنه تابع، بازه $[2, \infty)$ است.
مثال دیگر، حل یک دستگاه دو نامعادله است. برای مثال، مجموعه اعداد $x$ را بیابید که در هر دو نامعادله $x \gt 1$ و $x \le 4$ صدق کند.
- این دو شرط را میتوان به صورت همزمان به شکل $1 \lt x \le 4$ نوشت.
- بازه متناظر با آن، ترکیبی از باز و بسته است: $(1, 4]$.
گاهی جواب یک نامعادله به دو بخش جداگانه تقسیم میشود، مانند نامعادلات قدرمطلقی[2]. به مثال زیر توجه کنید:
مثال ۳:$|x| \ge 3$.
- این نامعادله به دو نامعادله تبدیل میشود: $x \ge 3$ یا $x \le -3$.
- هر کدام یک بازه هستند: $[3, \infty)$ و $(-\infty, -3]$.
- مجموعه جواب کل، اجتماع این دو بازه است: $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
۴. چالشهای مفهومی در نمایش بازهای
❓ سوال ۱: آیا بازه $[2, 5)$ با بازه $(2, 5]$ برابر است؟
✅ پاسخ: خیر. در اولی عدد 2 عضوی از مجموعه است ولی 5 نیست. در دومی عدد 5 عضویت دارد ولی 2 ندارد. این دو مجموعه با هم تفاوت دارند. برای مثال، عدد 2.5 در هر دو هست، اما 2 فقط در اولی و 5 فقط در دومی وجود دارد.
❓ سوال ۲: چرا از نماد $\infty$ همیشه با پرانتز استفاده میکنیم؟
✅ پاسخ: زیرا بینهایت یک عدد حقیقی نیست که بتواند در مجموعه عضویت داشته باشد. پرانتز نشان میدهد که بازه تا بینهایت ادامه دارد، اما هرگز به آن نمیرسیم. نوشتن $[a, \infty]$ کاملاً اشتباه است.
❓ سوال ۳: مجموعه جواب نامعادله $x^2 \le 0$ چیست و چگونه به صورت بازه نوشته میشود؟
✅ پاسخ: تنها عددی که مربع آن غیرمثبت (صفر یا منفی) باشد، خود صفر است (چون مربع اعداد دیگر مثبت است). بنابراین مجموعه جواب تکعضوی $\{0\}$ است. نمایش این مجموعه به صورت یک بازه امکانپذیر نیست زیرا بازه باید شامل یک پیوستار از اعداد باشد. گاهی آن را به صورت $[0,0]$ مینویسند که در واقع همان بازهای است که تنها یک عضو دارد و به آن بازه تباهیده[3] میگویند.
✍️ خلاصه و جمعبندی
- بازهها ابزاری کارآمد برای نمایش پیوسته اعداد حقیقی هستند.
- پرانتز $(\;)$ برای کرانهای باز و کروشه $[\;]$ برای کرانهای بسته استفاده میشود.
- در کنار نماد بینهایت $\infty$ فقط پرانتز میآید.
- برای نمایش چند بازه مجزا از نماد اجتماع $\cup$ استفاده میکنیم.
- همیشه هنگام نوشتن بازه، عدد کوچکتر در سمت چپ و عدد بزرگتر در سمت راست قرار میگیرد.
پاورقیها
[1]Set-builder notation : روشی برای تعریف یک مجموعه با استفاده از شرط ویژگی اعضا.
[2]Absolute value : فاصله یک عدد از صفر روی محور اعداد که همواره نامنفی است.
[3]Degenerate interval : بازهای که فقط شامل یک نقطه است، مانند $[a, a]$.
