تعیین علامت عبارتهای جبری: مثبت، منفی، صفر یا تعریفنشده
گامهای اساسی در تعیین علامت یک عبارت
برای تعیین علامت هر عبارت جبری $f(x)$، باید یک فرآیند منظم و گامبهگام را دنبال کنیم. این گامها به ما کمک میکند تا بدون سردرگمی، علامت عبارت را در تمام طول محور اعداد حقیقی مشخص کنیم.
- یافتن نقاط بحرانی: نقاط بحرانی شامل دو دسته هستند: ریشههای معادله $f(x)=0$ (جایی که عبارت صفر میشود) و نقاط تعریفنشده (جایی که مخرج کسر صفر است یا عبارت زیر رادیکال زوج منفی میشود).
- مرتبسازی نقاط بحرانی: نقاط بهدستآمده را روی محور اعداد حقیقی، بهترتیب از کوچک به بزرگ، مرتب میکنیم. این نقاط، محور اعداد را به چند بازه باز ($(-\infty , x_1)$, $(x_1 , x_2)$, ...) تقسیم میکنند.
- انتخاب یک نقطه آزمایشی: از هر بازه، یک عدد دلخواه (به جز نقاط بحرانی) انتخاب میکنیم.
- محاسبه علامت: عدد آزمایشی را در عبارت $f(x)$ قرار میدهیم و علامت حاصل را مشخص میکنیم. این علامت، علامت کل آن بازه خواهد بود.
- تهیه جدول علامت: نتایج را در یک جدول یا روی محور اعداد نمایش میدهیم.
برای مثال، عبارت خطی $f(x) = 2x - 4$ را در نظر بگیرید. نقطه بحرانی آن از حل $2x-4=0$، $x=2$ بهدست میآید. محور اعداد به دو بازه $(-\infty , 2)$ و $(2, +\infty)$ تقسیم میشود. با انتخاب $x=0$ از بازه اول، $f(0)=-4$ (منفی) و با انتخاب $x=3$ از بازه دوم، $f(3)=2$ (مثبت) است. در نقطه $x=2$، عبارت صفر است.
روش تحلیل علامت توابع چندجملهای و گویا
توابع چندجملهای3 همواره برای همه اعداد حقیقی تعریفشده هستند و تنها نقاط بحرانی آنها ریشههایشان است. اما در توابع گویا4 (به صورت کسر)، نقاطی که مخرج را صفر میکنند، نقاط تعریفنشده هستند و علامت عبارت در آن نقاط معنی ندارد.
برای توابع گویا، ریشههای صورت، عبارت را صفر و ریشههای مخرج، عبارت را تعریفنشده میکنند. هنگام رسم جدول علامت، برای نقاط تعریفنشده از خط عمودی استفاده میکنیم. در مثال زیر، این موضوع را بهخوبی میتوانید ببینید.
| نوع تابع | نقاط بحرانی | مثال (f(x | جدول علامت |
|---|---|---|---|
| چندجملهای درجه ۲ | ریشهها | $x^2 - x - 6$ | ریشهها: $-2, 3$ |
| گویا | ریشههای صورت و مخرج | $\frac{x-1}{x+2}$ | ریشه: $x=1$، تعریفنشده: $x=-2$ |
کاربرد عملی: حل یک نامعادله گویا به کمک تعیین علامت
فرض کنید میخواهیم نامعادله $\frac{x^2 - 4}{x - 1} \le 0$ را حل کنیم. ابتدا نقاط بحرانی را مییابیم:
- صفرهای صورت: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$
- صفرهای مخرج (نقاط تعریفنشده): $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
نقاط بحرانی بهترتیب عبارتند از $-2$, $1$, $2$. این نقاط، محور اعداد را به چهار بازه تقسیم میکنند: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 2)$, $(2, +\infty)$. حال با انتخاب نقاط آزمایشی ($-3, 0, 1.5, 3$) علامت عبارت را در هر بازه مشخص میکنیم. نتیجه را در جدول زیر میبینیم:
| بازه | عدد آزمایشی | علامت صورت | علامت مخرج | علامت کسر |
|---|---|---|---|---|
| $(-\infty, -2)$ | $x=-3$ | مثبت (+) | منفی (-) | منفی (-) |
| $(-2, 1)$ | $x=0$ | منفی (-) | منفی (-) | مثبت (+) |
| $(1, 2)$ | $x=1.5$ | منفی (-) | مثبت (+) | منفی (-) |
| $(2, +\infty)$ | $x=3$ | مثبت (+) | مثبت (+) | مثبت (+) |
با توجه به علامت کسر و با در نظر گرفتن اینکه نامعادله $\le 0$ است، بازههایی که علامت منفی دارند به همراه نقاط صفر (ریشههای صورت) جواب هستند. نقطه $x=1$ به دلیل تعریفنشده بودن، هرگز در جواب نمیآید. بنابراین جواب برابر است با: $(-\infty, -2] \cup (1, 2]$.
چالشهای مفهومی در تعیین علامت
❓ چالش ۱: اگر یک ریشه دارای تعدد زوج باشد، علامت در دو طرف آن نقطه چگونه تغییر میکند؟
پاسخ: اگر ریشه یک معادله (مثلاً از یک عبارت چندجملهای) دارای تعدد زوج (مانند $(x-1)^2=0$) باشد، علامت عبارت در دو طرف آن ریشه تغییر نمیکند. زیرا عبارت همواره غیرمنفی (یا غیرمثبت) است. اما اگر تعدد فرد باشد (مانند $(x-1)^3=0$)، علامت در دو طرف ریشه عوض میشود.
❓ چالش ۲: در نامعادلات شامل عبارتهای رادیکال با فرجه زوج، دامنه چه تأثیری بر تعیین علامت دارد؟
پاسخ: در توابع رادیکالی با فرجه زوج، مانند $\sqrt{f(x)}$، ابتدا باید دامنه عبارت را تعیین کرد. عبارت فقط برای $f(x) \ge 0$ تعریف میشود. بنابراین، جدول علامت را فقط روی دامنه مجاز رسم میکنیم و علامت خود رادیکال برای مقادیر درون دامنه (بهجز ریشهها) همیشه مثبت است.
❓ چالش ۳: چگونه میتوان علامت یک عبارت شامل قدر مطلق5 را تحلیل کرد؟
پاسخ: برای توابع قدرمطلقی، باید بر اساس تعریف قدر مطلق، عبارت را به صورت چندضابطهای بنویسیم. به این معنی که بازههایی که عبارت درون قدر مطلق مثبت یا منفی است را جدا کنیم و سپس علامت کل عبارت را در آن بازهها بهدست آوریم. به عنوان مثال، $|x-2|$ برای $x \ge 2$ برابر $x-2$ (غیرمنفی) و برای $x \lt 2$ برابر $-(x-2)$ (مثبت) است. در نتیجه کل تابع قدر مطلق همواره غیرمنفی است.
تعیین علامت یک ابزار قدرتمند برای تحلیل توابع و حل نامعادلات است. با شناسایی دقیق نقاط بحرانی (ریشهها و نقاط تعریفنشده) و بررسی علامت در هر بازه، میتوانیم به سادگی رفتار یک تابع را در سراسر دامنه خود پیشبینی کنیم. این روش نه تنها در ریاضیات محض، بلکه در مسائل فیزیک، اقتصاد و مهندسی که با بازههای مجاز و بهینه سروکار داریم، کاربرد فراوانی دارد. به خاطر داشته باشید که توجه به تعدد ریشهها و دامنه توابع، از اشتباهات رایج در این مبحث جلوگیری میکند.
پاورقی
- صفرهای تابع (Zeros of a function): مقادیری از متغیر که به ازای آنها مقدار تابع برابر صفر میشود. به این مقادیر ریشههای معادله $f(x)=0$ نیز میگویند.
- نقاط تعریفنشده (Undefined points): مقادیری از متغیر که تابع در آنها مقداری حقیقی ندارد؛ مانند نقاطی که مخرج کسر صفر میشود یا عبارت زیر رادیکال زوج منفی میگردد.
- چندجملهای (Polynomial): عبارتی جبری شامل یک یا چند جمله که ضرایب آن اعداد حقیقی بوده و توان متغیرها اعداد صحیح نامنفی است.
- تابع گویا (Rational Function): تابعی که به صورت نسبت دو چندجملهای نوشته میشود، یعنی $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ که در آن $Q(x) \neq 0$.
- قدر مطلق (Absolute Value): فاصله یک عدد حقیقی از صفر را قدر مطلق آن مینامند و با $|x|$ نمایش میدهند. قدر مطلق یک عدد همیشه نامنفی است.
