نمایش هندسی مجموعه جواب: از نامعادله تا خط اعداد
۱. مبانی نمایش روی محور اعداد: نقطه، پارهخط و نیمخط
محور اعداد، خطی است مستقیم که بر روی آن نقاط متناظر با اعداد حقیقی قرار میگیرند. برای نمایش یک مجموعه جواب، بسته به نوع آن (تعدادی عدد مشخص یا بازهای از اعداد) از نمادهای زیر استفاده میکنیم:
- نقطه (• یا ◦) برای نشاندادن یک عدد مشخص. نقطهی توپر • برای اعدادی که در مجموعهی جواب قرار دارند (نامعادلات با علامت ≤ یا ≥) و نقطهی توخالی ◦ برای اعدادی که خودشان عضو جواب نیستند اما مرز بازه هستند (نامعادلات با علامت < یا >).
- پارهخط خطی است بین دو نقطه که تمام اعداد بین آن دو نقطه را شامل میشود. رنگ این خط معمولاً ضخیمتر یا با رنگ متفاوت رسم میشود.
- نیمخط خطی است که از یک نقطه شروع شده و تا بینهایت در یک جهت ادامه مییابد. جهت آن با یک پیکان در انتهای خط نشان داده میشود.
به عنوان مثال، مجموعهی $ \{x \mid x \gt 3 \}$ با یک نقطهی توخالی روی عدد 3 و یک نیمخط رنگی که به سمت راست کشیده شده و به پیکان ختم میشود، نمایش داده میشود.
۲. گامهای عملی برای ترسیم مجموعه جواب یک نامعادله
برای ترسیم هندسی جواب یک نامعادله خطی ساده، مراحل زیر را به ترتیب انجام میدهیم:
- حل نامعادله: نامعادله را به سادهترین شکل ممکن مینویسیم تا مشخص شود $x$ از چه عددی بزرگتر، کوچکتر، یا بین چه دو عددی قرار دارد. مثال: $2x - 4 \le 0 \Rightarrow x \le 2$.
- تعیین مرز(ها): عدد یا اعدادی که مرز جواب هستند را پیدا کنید. در مثال بالا، مرز عدد 2 است.
- رسم نقطهی مرزی: روی محور اعداد، عدد مرزی را پیدا کنید. اگر نامعادله شامل مساوی باشد (≤ یا ≥) از نقطهی توپر (•) استفاده کنید. اگر مساوی نداشت (< یا >) از نقطهی توخالی (◦) استفاده کنید. در مثال $x \le 2$، نقطهی توپر روی عدد 2 میگذاریم.
- رنگآمیزی: با توجه به علامت نامعادله، سمت چپ یا راست نقطه را به صورت یک خط کلفت یا رنگی رسم کنید. برای $x \le 2$، تمام اعداد کوچکتر از 2 در سمت چپ نقطه، جواب هستند. بنابراین از نقطه به سمت چپ یک نیمخط رسم کرده و در انتها پیکان میگذاریم.
۳. کاربرد عملی: نمایش دستگاه نامعادلات و اجتماع/اشتراک بازهها
زمانی که با دو یا چند نامعادله روبرو هستیم، مجموعه جواب نهایی، اشتراک یا اجتماع جواب هر کدام است. بهترین راه برای یافتن این مجموعه، رسم جداگانه هر نامعادله روی یک محور و سپس یافتن ناحیهی مشترک (برای اشتراک) یا مجموع نواحی (برای اجتماع) است. این روش از هرگونه محاسبهی ذهنی خطاپذیر، مطمئنتر است.
برای مثال، دستگاه $ \begin{cases} x \ge -1 \\ x \lt 4 \end{cases} $ را در نظر بگیرید. ابتدا $x \ge -1$ را با یک نقطهی توپر روی $-1$ و نیمخط رنگی به سمت راست رسم کنید. سپس $x \lt 4$ را با نقطهی توخالی روی $4$ و نیمخط رنگی به سمت چپ رسم کنید. ناحیهای که هر دو رنگ روی آن قرار گرفتهاند (اشتراک) از $-1$ شروع شده و تا $4$ ادامه دارد. نقطهی $-1$ در جواب هست (توپر) و نقطهی $4$ در جواب نیست (توخالی). جواب نهایی به صورت بازهی $[-1,4)$ نوشته میشود.
۴. جدول مقایسهی علائم و نحوهی نمایش آنها
| علامت در نامعادله | نوع نقطه روی مرز | جهت نیمخط یا پارهخط | نمایش بازهای |
|---|---|---|---|
| $x \gt a$ | توخالی ($\circ$) | راست (به سمت بینهایت مثبت) | $(a, +\infty)$ |
| $x \ge a$ | توپر ($\bullet$) | راست | $[a, +\infty)$ |
| $x \lt b$ | توخالی | چپ (به سمت بینهایت منفی) | $(-\infty, b)$ |
| $x \le b$ | توپر | چپ | $(-\infty, b]$ |
| $a \lt x \lt b$ | هر دو توخالی | پارهخط بین a و b | $(a, b)$ |
| $a \le x \le b$ | هر دو توپر | پارهخط بین a و b | $[a, b]$ |
۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
✅ پاسخ: در هر دو، نیمخط رنگی به سمت راست عدد 5 کشیده میشود. اما در حالت اول، روی عدد 5 یک نقطهی توخالی (◦) میگذاریم که نشان میدهد خود عدد ۵ عضوی از مجموعه جواب نیست. در حالت دوم، نقطهی توپر (•) نشان میدهد که عدد ۵ نیز در جواب قرار دارد.
✅ پاسخ: این دو نامعادله هیچ اشتراکی ندارند، زیرا یک عدد نمیتواند هم بزرگتر از 2 و هم کوچکتر از -1 باشد. نمایش هندسی شامل دو نیمخط جداگانه است: یکی از 2 به سمت راست با نقطهی توخالی، و دیگری از -1 به سمت چپ با نقطهی توخالی. مجموعه جواب، اجتماع این دو ناحیه است.
✅ پاسخ: نامعادله قدرمطلقی $|x| \le 3$ معادل است با $-3 \le x \le 3$. بنابراین نمایش آن به صورت یک پارهخط از -3 تا 3 خواهد بود. از آنجایی که علامت شامل مساوی است (≤)، هر دو نقطهی مرزی -3 و 3 به صورت توپر رسم میشوند.
پاورقیها
[1]محور اعداد (Number Line): خطی است مستقیم که بر روی آن نقاط متناظر با اعداد حقیقی به صورت مرتب و با فاصلههای مساوی از مبدأ (صفر) قرار میگیرند.
[2]بازه (Interval): مجموعهای از اعداد حقیقی بین دو عدد مشخص که میتواند شامل خود آن دو عدد باشد (بسته) یا نباشد (باز).
[3]دستگاه نامعادلات (System of Inequalities): به مجموعهای از دو یا چند نامعادله گفته میشود که جواب آن، اعداد مشترک بین تمام آنها است.