بازهها: زبان گویای مجموعه جواب نامعادلهها
آموزش گامبهگام نمایش مجموعه جواب نامعادلات روی محور اعداد و نگارش آن با نمادهای بازه، از صفر تا صد با مثالهای متنوع
در این مقاله با زبانی ساده و روان یاد میگیرید که چگونه مجموعه جواب یک نامعادله را ابتدا روی محور اعداد حقیقی نشان دهید و سپس آن را به صورت یک بازه (یا اجتماع چند بازه) بنویسید. با مفاهیم بازههای بسته، باز، نیمهباز و بینهایت آشنا میشوید و با حل چندین مثال گامبهگام، مهارت خود را در این مبحث پایهای و پرکاربرد ریاضی دبیرستان تقویت خواهید کرد.
بازه چیست و چرا به آن نیاز داریم؟
هنگامی که یک نامعادله1 را حل میکنیم، با مجموعهای از اعداد حقیقی روبرو میشویم که در آن شرط برقرار است. این مجموعه معمولاً یک «قطعه» پیوسته از محور اعداد است. برای مثال، مجموعه اعداد بزرگتر از 2 و کوچکتر از 5 را در نظر بگیرید. اگر بخواهیم این مجموعه را با نمادهای معمولی ریاضی بنویسیم، به شکل $\{x \in \mathbb{R} \mid 2 \lt x \lt 5\}$ خواهد بود. این نمادگذاری اگرچه دقیق است، اما برای نمایش سریع و انجام عملیات بعدی روی مجموعهها کمی طولانی و ناکارآمد به نظر میرسد. اینجاست که مفهوم «بازه»2 به کمک ما میآید. بازه روشی فشرده و استاندارد برای نمایش مجموعهای از اعداد حقیقی است که بین دو نقطه مشخص قرار دارند. استفاده از بازه نهتنها نوشتن را سادهتر میکند، بلکه درک تعلق یا عدم تعلق نقاط مرزی را نیز آسان میسازد. بازهها ابزاری ضروری در جبر، تحلیل ریاضی و حتی بسیاری از شاخههای علوم مهندسی هستند.
? نکته: همیشه به خاطر داشته باشید که بازهها فقط برای اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) تعریف میشوند. برای مجموعههای گسسته مانند اعداد طبیعی یا صحیح، نمیتوانیم از نماد بازه استفاده کنیم.
انواع بازه و نحوه نمایش روی محور
بازهها بر اساس این که نقاط ابتدا و انتهای آن (کرانها) شامل مجموعه باشند یا نه، به چهار دسته اصلی تقسیم میشوند. در جدول زیر این چهار نوع را با نمادها و نحوه نمایش روی محور اعداد مقایسه کردهایم.| نام بازه | نماد بازه | نامعادله معادل | نمایش روی محور |
|---|---|---|---|
| بسته | $[a, b]$ | $a \le x \le b$ | دو نقطه a و b توپر (●) و خط ضخیم بین آنها |
| باز | $(a, b)$ | $a \lt x \lt b$ | دو نقطه a و b توخالی (○) و خط ضخیم بین آنها |
| نیمهباز (چپ‑بسته) | $[a, b)$ | $a \le x \lt b$ | نقطه a توپر (●)، نقطه b توخالی (○) |
| نیمهباز (راست‑بسته) | $(a, b]$ | $a \lt x \le b$ | نقطه a توخالی (○)، نقطه b توپر (●) |
بازههای نیمهمتناهی (بینهایتدار)
گاهی اوقات مجموعه جواب یک نامعادله به سمت مثبت یا منفی بینهایت امتداد دارد. برای نمایش این حالتها از نماد $\infty$ (بینهایت) استفاده میکنیم. توجه داشته باشید که بینهایت یک عدد نیست، بلکه نمادی برای نشاندادن «ادامهداشتن» مجموعه است. به همین دلیل، در کنار بینهایت همیشه از پرانتز $($ یا $)$ استفاده میشود و هرگز کروشه $[$ یا $]$ به کار نمیرود.
? فرمول: برای نمایش مجموعه اعداد بزرگتر یا مساوی a مینویسیم $[a, +\infty)$. برای اعداد کوچکتر از b مینویسیم $(-\infty, b)$. کل محور اعداد حقیقی نیز با $(-\infty, +\infty)$ نشان داده میشود.
گامهای عملی برای تبدیل نامعادله به بازه
برای اینکه بتوانیم مجموعه جواب یک نامعادله را به صورت بازه بنویسیم، باید یک فرآیند گامبهگام را دنبال کنیم. فرض کنید میخواهیم نامعادله $3x - 5 \le 7$ را حل کرده و جواب را به صورت بازه بنویسیم. گام ۱: حل نامعادله نامعادله را مانند یک معادله ساده حل میکنیم، با این تفاوت که اگر دو طرف نامعادله را در عدد منفی ضرب یا تقسیم کنیم، جهت نامعادله عوض میشود.$3x - 5 \le 7 \implies 3x \le 12 \implies x \le 4$ گام ۲: ترسیم روی محور روی محور اعداد، نقطه 4 را پیدا میکنیم. از آنجایی که علامت نامعادله $\le$ (کوچکتر یا مساوی) است، نقطه 4 را به صورت توپر (●) رسم کرده و تمام نقاط سمت چپ آن را ضخیم میکنیم. گام ۳: نوشتن بازه محور نشان میدهد که مجموعه جواب شامل همه اعداد از منفی بینهایت تا 4 است و عدد 4 نیز جزو جوابهاست. پس بازه به این صورت نوشته میشود: $(-\infty, 4]$.
حالتهای خاص: اجتماع بازهها
همیشه مجموعه جواب یک نامعادله یک بازه پیوسته نیست. گاهی اوقات، به خصوص در نامعادلات گویا یا قدرمطلقی، جواب شامل دو یا چند بخش جدا از هم میشود. در این موارد باید از نماد اجتماع $\cup$ استفاده کنیم. برای مثال، نامعادله $|x| \gt 2$ را در نظر بگیرید. این نامعادله به این معناست که فاصله x از صفر، بزرگتر از 2 واحد است. بنابراین x میتواند هر عددی بزرگتر از 2 یا هر عددی کوچکتر از -2 باشد. مجموعه جواب دو بخش جداگانه دارد که روی محور اعداد نیز به صورت دو خط جدا از هم دیده میشوند. بازه متناظر با آن به شکل زیر خواهد بود: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$مثال عینی از دنیای واقعی: کنترل دمای یک واکنش شیمیایی
فرض کنید در یک آزمایشگاه شیمی، برای انجام یک واکنش، دمای محیط بر حسب درجه سانتیگراد باید حداقل 20 و حداکثر 30 درجه باشد. اگر دما به 20 درجه برسد، واکنش بهآرامی شروع میشود، اما اگر به 30 درجه برسد، واکنش ناپایدار شده و باید متوقف شود. دمای مجاز برای انجام واکنش کدام است؟ در اینجا دما ($T$) باید بزرگتر یا مساوی 20 و کوچکتر از 30 باشد. یعنی: $20 \le T \lt 30$ روی محور اعداد، نقطه 20 را توپر و نقطه 30 را توخالی رسم میکنیم. مجموعه جواب به صورت یک بازه نیمهباز خواهد بود: $[20, 30)$ این بازه به ما میگوید که دمای 20 درجه مجاز است، ولی دمای 30 درجه مجاز نیست.چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ چرا در بازههایی که شامل بینهایت هستند، همیشه از پرانتز استفاده میکنیم؟
پاسخ: بینهایت یک عدد مشخص نیست، بلکه یک مفهوم (Concept) است. از آنجایی که نمیتوانیم به یک نقطه مشخص در بینهایت برسیم یا آن را در مجموعه قرار دهیم، استفاده از کروشه (که نشاندهنده «شامل بودن» نقطه است) برای بینهایت منطقی نیست. بنابراین همیشه از پرانتز استفاده میشود.
پاسخ: بینهایت یک عدد مشخص نیست، بلکه یک مفهوم (Concept) است. از آنجایی که نمیتوانیم به یک نقطه مشخص در بینهایت برسیم یا آن را در مجموعه قرار دهیم، استفاده از کروشه (که نشاندهنده «شامل بودن» نقطه است) برای بینهایت منطقی نیست. بنابراین همیشه از پرانتز استفاده میشود.
❓ آیا مجموعه جواب $x^2 \ge 0$ را میتوان به صورت یک بازه نوشت؟
پاسخ: خیر. این نامعادله برای همه اعداد حقیقی برقرار است. مجموعه جواب کل $\mathbb{R}$ است که با بازه $(-\infty, +\infty)$ نمایش داده میشود. این یک بازه است، اما نوع خاصی از بازه که تا بینهایت امتداد دارد.
پاسخ: خیر. این نامعادله برای همه اعداد حقیقی برقرار است. مجموعه جواب کل $\mathbb{R}$ است که با بازه $(-\infty, +\infty)$ نمایش داده میشود. این یک بازه است، اما نوع خاصی از بازه که تا بینهایت امتداد دارد.
❓ در کدام نوع نامعادلات ممکن است جواب به صورت اجتماع چند بازه باشد؟
پاسخ: نامعادلات قدرمطلقی از نوع $|x| \gt a$، نامعادلات درجه دوم با ضریب مثبت و ممیز مثبت (که سهمی رو به بالا دارد و زیر محور $x$ها قرار میگیرد)، و نامعادلات گویا که پس از تعیین علامت، بازههای مثبت یا منفی متناوب دارند، از جمله مواردی هستند که جواب آنها به صورت اجتماع دو یا چند بازه ظاهر میشود.
پاسخ: نامعادلات قدرمطلقی از نوع $|x| \gt a$، نامعادلات درجه دوم با ضریب مثبت و ممیز مثبت (که سهمی رو به بالا دارد و زیر محور $x$ها قرار میگیرد)، و نامعادلات گویا که پس از تعیین علامت، بازههای مثبت یا منفی متناوب دارند، از جمله مواردی هستند که جواب آنها به صورت اجتماع دو یا چند بازه ظاهر میشود.
✍️ خلاصه و نکات کلیدی:
- بازه روشی استاندارد و فشرده برای نمایش مجموعه اعداد حقیقی بین دو کران است.
- نقطه توپر (●) روی محور یعنی آن عدد در مجموعه جواب است (کران بسته) و نقطه توخالی (○) یعنی عدد در مجموعه نیست (کران باز).
- در کنار نمادهای بینهایت ($\infty$) فقط پرانتز میآید.
- اگر مجموعه جواب شامل چند قطعه جدا باشد، آنها را با نماد اجتماع $\cup$ به هم وصل میکنیم.
- برای تبدیل یک نامعادله به بازه: ۱) حل نامعادله، ۲) ترسیم روی محور، ۳) نوشتن بازه متناظر.
- بازه روشی استاندارد و فشرده برای نمایش مجموعه اعداد حقیقی بین دو کران است.
- نقطه توپر (●) روی محور یعنی آن عدد در مجموعه جواب است (کران بسته) و نقطه توخالی (○) یعنی عدد در مجموعه نیست (کران باز).
- در کنار نمادهای بینهایت ($\infty$) فقط پرانتز میآید.
- اگر مجموعه جواب شامل چند قطعه جدا باشد، آنها را با نماد اجتماع $\cup$ به هم وصل میکنیم.
- برای تبدیل یک نامعادله به بازه: ۱) حل نامعادله، ۲) ترسیم روی محور، ۳) نوشتن بازه متناظر.
پاورقیها
1نامعادله (Inequality): یک عبارت ریاضی است که در آن دو مقدار با نمادهایی مانند $\lt$ (کوچکتر)، $\gt$ (بزرگتر)، $\le$ (کوچکتر یا مساوی) و $\ge$ (بزرگتر یا مساوی) مقایسه میشوند.
2بازه (Interval): مجموعهای از اعداد حقیقی است که بین دو عدد مشخص قرار دارند. بازهها میتوانند شامل کرانها باشند یا نباشند.
2بازه (Interval): مجموعهای از اعداد حقیقی است که بین دو عدد مشخص قرار دارند. بازهها میتوانند شامل کرانها باشند یا نباشند.
