پیدا کردن قلمرو اعداد: حل نامعادله و یافتن تمامی مقدارهای x
۱. اصول پایهای: نامعادله درجه اول
سادهترین نوع نامعادله، نامعادله درجه اول است که به شکل $ax + b \gt 0$ (یا با هر یک از نمادهای دیگر نامساوی) ظاهر میشود، جایی که $a \neq 0$. روش حل آن بسیار شبیه به معادله است، با یک تفاوت بسیار مهم: اگر دو طرف نامعادله را در یک عدد منفی ضرب یا بر آن تقسیم کنیم، جهت نامساوی عوض میشود.
برای مثال، فرض کنید میخواهیم نامعادله $-2x + 4 \le 6$ را حل کنیم. گامها به این صورت است:
- ابتدا جمله ثابت را به سمت راست منتقل میکنیم: $-2x \le 6 - 4$ یا $-2x \le 2$.
- سپس دو طرف را بر $-2$ (که عددی منفی است) تقسیم میکنیم. این کار باعث برگشتن علامت نامساوی میشود: $x \ge \frac{2}{-2}$.
- بنابراین جواب به صورت $x \ge -1$ یا به زبان بازهها: $[-1, +\infty)$ است.
توجه داشته باشید که اگر ضریب x مثبت بود، جهت نامساوی حفظ میشد. این قانون طلایی را هرگز فراموش نکنید.
۲. گامی فراتر: نامعادله درجه دوم
حل نامعادله درجه دوم مانند $ax^2 + bx + c \gt 0$ (یا $\lt 0$) نیازمند یک ابزار تحلیلی به نام «تعیین علامت» است. مراحل کار عبارتند از:
- یافتن ریشهها: ابتدا معادله $ax^2 + bx + c = 0$ را حل میکنیم. ریشهها را $x_1$ و $x_2$ مینامیم.
- تحلیل علامت: میدانیم که عبارت درجه دوم، بین دو ریشه، علامتی مخالف علامت $a$ و در خارج از ریشهها، علامتی موافق علامت $a$ دارد.
- نوشتن جواب: بر اساس علامت خواسته شده در نامساوی (بزرگتر از صفر یا کوچکتر از صفر)، بازه(های) مورد نظر را انتخاب میکنیم.
مثال عینی: فرض کنید در یک مسابقهی علمی، امتیاز تیم شما از رابطه $S = -x^2 + 5x - 4$ به دست میآید و شما میخواهید بدانید در چه بازههایی از $x$، امتیاز مثبت ($S \gt 0$) کسب میکنید. برای حل نامعادله $-x^2 + 5x - 4 \gt 0$، ابتدا آن را در $-1$ ضرب میکنیم (جهت نامساوی برمیگردد): $x^2 - 5x + 4 \lt 0$. معادله $x^2 - 5x + 4=0$ را حل میکنیم: $(x-1)(x-4)=0$، پس ریشهها $1$ و $4$ هستند. چون $a=1 \gt 0$، عبارت بین دو ریشه منفی است. بنابراین جواب بازه $(1, 4)$ است.
۳. نامعادلات کسری (گویا) و دامنه
نامعادلات کسری، که شامل متغیر در مخرج هستند، نیازمند دقت بیشتری میباشند، زیرا باید دامنه[1] عبارت را نیز در نظر بگیریم. مراحل حل:
- تمام عبارات را به یک طرف نامساوی منتقل کرده و به یک کسر واحد تبدیل میکنیم.
- صورت و مخرج را جداگانه تجزیه (فاکتور) میکنیم.
- ریشههای صورت و مخرج را پیدا میکنیم. (توجه: ریشههای مخرج، نقاط تعریفنشده هستند.)
- یک جدول تعیین علامت تشکیل میدهیم و علامت کل کسر را در هر بازه مشخص میکنیم.
- بازههایی که در آنها نامساوی برقرار است را به عنوان جواب انتخاب میکنیم، با این شرط که نقاطی که مخرج را صفر میکنند، هرگز در جواب نهایی قرار نمیگیرند (چون عبارت در آن نقاط تعریف نشده است).
بیایید با یک مثال از منبع آموزشی معتبر این فرآیند را گام به گام پیش برویم. فرض کنید میخواهیم نامعادله $\frac{x+3}{x-1} \ge 0$ را حل کنیم.
- صورت در $x=-3$ و مخرج در $x=1$ ریشه دارند. نقطه $x=1$ از دامنه خارج است.
- جدول تعیین علامت برای این دو عبارت خطی به صورت زیر است:
| بازه / عبارت | $(-\infty, -3)$ | $x=-3$ | $(-3, 1)$ | $x=1$ | $(1, +\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x+3$ | منفی | صفر | مثبت | مثبت | مثبت |
| $x-1$ | منفی | منفی | منفی | تعریفنشده | مثبت |
| کسر $\frac{x+3}{x-1}$ | مثبت | صفر | منفی | تعریفنشده | مثبت |
با توجه به نامساوی $\ge 0$، بازههایی را انتخاب میکنیم که کسر مثبت یا صفر است. نقاط مثبت در بازههای $(-\infty, -3)$ و $(1, +\infty)$ هستند. نقطه $x=-3$ کسر را صفر میکند و در دامنه هست، پس قابل قبول است. نقطه $x=1$ قابل قبول نیست. بنابراین مجموعه جواب برابر است با $(-\infty, -3] \cup (1, +\infty)$ .
۴. کاربرد عملی: برنامهریزی استراحت برای افزایش بهرهوری
شاید تصور کنید حل نامعادلات فقط یک تمرین خشک و خالی کلاسی است، اما اینطور نیست. برای مثال، در علم مدیریت و اقتصاد، برای بهینهسازی زمان کاری و استراحت کارکنان از مدلهای ریاضی استفاده میشود . فرض کنید یک مطالعه نشان دهد که پس از $t$ ساعت کار مداوم، بهرهوری یک کارمند از رابطه $P = -0.1t^2 + 2t + 50$ (به درصد) پیروی میکند. مدیران میخواهند بدانند در چه بازهای از زمان، بهرهوری بالای $70\%$ است. برای این کار باید نامعادله $-0.1t^2 + 2t + 50 \gt 70$ را حل کنیم. با سادهسازی، به $-0.1t^2 + 2t -20 \gt 0$ میرسیم. با حل این نامعادله درجه دوم، بازه زمانی مشخص میشود که در آن، کارمند بیشترین بازدهی را دارد و مدیر میتواند استراحتها را طوری برنامهریزی کند که کارمند در این بازه بحرانی قرار نگیرد یا برعکس، با استراحتهای کوتاه، او را به این ناحیه بهینه بازگرداند.
۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: چرا وقتی دو طرف نامعادله را در یک عدد منفی ضرب میکنیم، علامت نامساوی عوض میشود؟
پاسخ: این قانون از خواص اعداد روی محور واقعی ناشی میشود. ضرب در یک عدد منفی، ترتیب اعداد را برعکس میکند. برای مثال، میدانیم $2 \lt 3$ است، اما اگر دو طرف را در $-1$ ضرب کنیم، به $-2 \gt -3$ میرسیم. این برگشتگی منطقی، همان تغییر جهت نامساوی است.
❓ چالش ۲: در نامعادلات کسری، چرا ریشه مخرج را هرگز در جواب نهایی لحاظ نمیکنیم؟
پاسخ: زیرا نامعادله، وضعیت یک عبارت ریاضی را بررسی میکند. در نقطهای که مخرج صفر میشود، آن عبارت اصلاً تعریف نشده است (تقسیم بر صفر معنی ندارد). بنابراین، بحث برقرار بودن یا نبودن نامساوی در آن نقطه بیمعناست و آن نقطه باید از دامنه حذف شود.
❓ چالش ۳: اگر در یک نامعادله درجه دوم، دلتا (Δ) منفی باشد، یعنی چه؟
پاسخ: معنیاش این است که عبارت درجه دوم هیچ ریشه حقیقی ندارد. در این حالت، علامت عبارت برای همه مقادیر x ثابت و برابر علامت ضریب $a$ (ضریب $x^2$) است. مثلاً اگر $a \gt 0$ و $\Delta \lt 0$، آن عبارت همیشه مثبت است. بنابراین جواب نامعادله $... \gt 0$ همه اعداد حقیقی خواهد بود، اما برای $... \lt 0$ هیچ جوابی نخواهد داشت.
پاورقیها
1دامنه (Domain): به مجموعه تمام مقادیری که یک تابع یا عبارت ریاضی برای آنها تعریف شده است، دامنه میگویند. برای یک عبارت کسری، دامنه شامل همه اعداد حقیقی به جز ریشههای مخرج است.
