نامعادله کوچکتر یا مساوی (≤) : پلی از حسابان تا تصمیمگیری روزمره
آشنایی با نماد ≤، قواعد حل، کاربرد در بازههای عددی و تحلیل مسائل بهصورت گامبهگام
در این مقاله با رابطهٔ کوچکتر یا مساوی (≤) آشنا میشویم. با کمک مثالهای گوناگون، از سادهترین نابرابریها تا کاربرد آن در تعیین بازههای جواب و مسائل بهینهسازی ساده پیش خواهیم رفت. هدف نهایی، تسلط بر مفاهیمی چون خطاعداد، بازهبندی و ترجمهٔ مسائل واقعی به زبان ریاضی است.
ریشهها و معنای نماد ≤
نماد ≤ اولین بار توسط ریاضیدان انگلیسی، توماس هریوت1، در قرن هفدهم برای نشاندادن رابطهٔ «نهبیشتر از» پیشنهاد شد. این نماد ترکیبی از علامت مساوی (=) و علامت کوچکتر ($A \le B$
به این معناست که مقدار A از مقدار B بیشتر نیست؛ یعنی یا A از B کوچکتر است یا با آن برابر است.
برای درک بهتر، اعداد روی محور را در نظر بگیرید. تمام نقاطی که در سمت چپ عدد
5
قرار دارند، شرط
$x \le 5$
را برآورده میکنند. خود عدد
5
نیز شامل این مجموعه میشود، چون تساوی مجاز است.
قوانین حل نامعادلههای ≤
حل یک نامعادله مانند
$A \le B$
به مجموعهای از عملیات جبری وابسته است. مهمترین نکته این است که برخلاف معادلهها، اگر دو طرف نامعادله را در یک عدد منفی ضرب یا بر آن تقسیم کنیم، جهت نامعادله برعکس میشود. مثلاً از
$-2x \le 6$
با تقسیم بر
-2
به
$x \ge -3$
میرسیم.
مثال عددی
عبارت
$3x + 2 \le 11$
را حل میکنیم:
$3x \le 9 \implies x \le 3$
مجموعهٔ جواب تمام اعداد حقیقی کوچکتر یا مساوی
3
است که به صورت بازهٔ
$(-\infty , 3]$
نمایش داده میشود.
بازههای عددی و نمایش روی محور
مهمترین دستاورد حل نامعادلهها، یافتن بازههای جواب است. جدول زیر انواع بازههای رایج همراه با نامعادلهٔ متناظر را نشان میدهد:
| شرط نامعادله | نماد بازه | توضیح |
|---|---|---|
| $x \le a$ | $(-\infty , a]$ | تمام اعداد از منفی بینهایت تا a (شامل a) |
| $a \le x \le b$ | $[a , b]$ | بستهٔ a تا b (هر دو کران شامل) |
| $x \ge a$ | $[a , \infty)$ | تمام اعداد از a تا مثبت بینهایت (شامل a) |
در بازهنویسی، کروشه [ به معنای شامل بودن کران و پرانتز ( به معنای عدمشمول است. مثلاً
$x \le 5$
همان
$(-\infty , 5]$
میباشد.
کاربرد عملی: از خرید تا مهندسی
فرض کنید برای خرید یک کولهپشتی
250000
تومان پول دارید و قیمت کوله
p
تومان است. شرط خرید به صورت
$p \le 250000$
نوشته میشود. تمام کولههایی که قیمتی کمتر یا برابر بودجهٔ شما دارند، گزینههای ممکن هستند.
در یک مسئلهٔ مهندسی ساده، فرض کنید تیرآهن باید باری کمتر از
2000
کیلوگرم را تحمل کند. اگر نیروی وارد شده
F
باشد، شرط پایداری به صورت
$F \le 2000$
نوشته میشود. هر نیرویی که کمتر از این حد باشد، ایمنی سازه را تضمین میکند.
چالشهای مفهومی
۱. آیا تفاوتی بین $x \le 3$ و $3 \ge x$ وجود دارد؟
خیر، هر دو یک معنا را میرسانند: x کوچکتر یا مساوی ۳ است. فقط جهت نوشتار متفاوت است. در ریاضیات هر دو شکل رایج و صحیح هستند.
۲. چرا هنگام ضرب در عدد منفی، علامت ≤ به ≥ تبدیل میشود؟
زیرا ضرب در یک عدد منفی، ترتیب اعداد روی محور اعداد را برعکس میکند. مثلاً ۲ ≤ ۳ درست است، ولی اگر در ۱- ضرب کنیم، ۲- ≥ ۳- بهدست میآید که باز هم درست است.
۳. آیا ≤ همیشه یک جواب بازهای به ما میدهد؟
در حالت کلی بله؛ اما گاهی ممکن است جواب یک نقطه یا تهی باشد. مثلاً $x \le x-1$ هیچ جوابی ندارد چون پس از سادهسازی به ۰ ≤ ۱- میرسیم که نادرست است.
نماد ≤ یکی از پایهایترین ابزارهای ریاضی برای بیان محدودیتها و مقایسههای کمی است. از حل یک نامعادلهٔ ساده تا مدلسازی مسائل دنیای واقعی (همانند بودجه، ظرفیت، محدودیت منابع)، درک درست این رابطه به ما امکان میدهد مجموعهٔ راهحلها را بهصورت دقیق و گویا (معمولاً به شکل بازه) مشخص کنیم. تسلط بر قوانین جابجایی و اثر ضرب در اعداد منفی، کلید موفقیت در کار با این نوع نامعادلههاست.
پاورقیها
1 Thomas Harriot - ریاضیدان و اخترشناس انگلیسی که نمادهای نابرابری را ابداع کرد. بعدها نماد ≤ از ترکیب این نمادها با خط تساوی بهوجود آمد.
