نقیض گزارههای سوری عمومی و وجودی
۱. مفهوم سورها و گزارههای سوری
در منطق و ریاضیات، برای بیان این که یک ویژگی برای همهٔ اعضای یک مجموعه صادق است یا فقط برای بعضی از آنها، از «سور» (Quantifier) استفاده میکنیم. دو سور اصلی وجود دارد:
سور وجودی (∃) که به معنای «بعضی»، «حداقل یک»، یا «وجود دارد» است.
به گزارههایی که شامل این سورها باشند، گزارههای سوری میگوییم. مثلاً: «همهٔ اعداد طبیعی مثبت هستند» یا «بعضی از پرندگان میتوانند پرواز کنند». درک نقیض این گزارهها نیازمند دقت است، زیرا نقیض کردن فقط عکس جمله نیست، بلکه جای سورها نیز عوض میشود.
۲. نقیض گزارهٔ سوری عمومی (∀)
فرض کنید گزارهای داریم به شکل: «همهٔ اعضای یک مجموعه دارای خاصیت P هستند». نقیض این گزاره چه خواهد بود؟ برای نقیق کردن، باید حالتی را پیدا کنیم که گزارهٔ اصلی را نادرست کند. اگر بگوییم «همه دارای خاصیت P هستند»، برای رد آن کافی است فقط یک عضو پیدا کنیم که خاصیت P را نداشته باشد. بنابراین، نقیض گزارهٔ عمومی به یک گزارهٔ وجودی تبدیل میشود.
مثال: گزاره «همهٔ اعداد طبیعی کوچکتر از 5 هستند» را در نظر بگیرید. دامنهٔ اعداد طبیعی است. نقیض این گزاره این است که «حداقل یک عدد طبیعی وجود دارد که کوچکتر از 5 نباشد» یا به عبارت دیگر «بعضی از اعداد طبیعی بزرگتر یا مساوی 5 هستند». وجود عدد 5 خودش این نقیض را ثابت میکند.
به یاد داشته باشید که عبارت «حداقل یک عضو از دامنه حکم را نقض میکند» دقیقاً همان مفهوم نقیض سور عمومی است. این عضو، «مثال نقض» (Counterexample)1 نامیده میشود.
۳. نقیض گزارهٔ سوری وجودی (∃)
حال به سراغ گزارهٔ وجودی میرویم. گزارهای مانند «حداقل یک عضو از مجموعه دارای خاصیت P است». برای نقیق کردن این گزاره، باید نشان دهیم که هیچ عضوی خاصیت P را ندارد؛ یعنی همهٔ اعضا فاقد آن خاصیت هستند. پس نقیض گزارهٔ وجودی به یک گزارهٔ عمومی تبدیل میشود.
مثال: گزاره «بعضی از اعداد اول زوج هستند» را در نظر بگیرید. (عدد 2 یک عدد اول زوج است، پس گزاره درست است). نقیض این گزاره میگوید: «هیچ عدد اولی زوج نیست» یا به زبان دیگر «برای همهٔ اعداد اول، اگر عدد اول باشد، آنگاه زوج نیست». این گزاره نادرست است (چون 2 نقضش میکند)، اما ساختار منطقی نقیض را نشان میدهد.
جملهٔ «برای همهٔ اعضای دامنه حکم برقرار نیست» که در موضوع اشاره شده، دقیقاً به همین معناست: نقیض یک گزارهٔ وجودی، این است که حکم برای همهٔ اعضا برقرار نباشد.
۴. کاربرد عملی: قوانین دوگان دو مورگان برای سورها
شباهت زیادی بین نقیض سورها و قوانین دو مورگان2 در جبر بول وجود دارد. درست همان طور که نقیض یک عبارت «و» (AND) به «یا» (OR) با نقیض عبارتها تبدیل میشود، در اینجا نیز سور عمومی (که شبیه AND کردن روی همهٔ اعضا است) به سور وجودی (که شبیه OR کردن است) تبدیل میشود و بالعکس. این قوانین در اثباتهای ریاضی و برنامهنویسی بسیار کاربرد دارند.
| نوع گزاره | صورت اصلی | نقیض (نادرست بودن) | معادل منطقی |
|---|---|---|---|
| عمومی | همهٔ دانشآموزان درس خواندهاند. | حداقل یک نفر درس نخوانده | $\exists x, \neg P(x)$ |
| وجودی | بعضی از پرندگان میتوانند شنا کنند. | هیچ پرندهای نمیتواند شنا کند | $\forall x, \neg P(x)$ |
| عمومی | تمام اعداد زوج بر 2 بخشپذیرند. | برخی اعداد زوج بر 2 بخشپذیر نیستند | $\exists x, \neg P(x)$ |
۵. مثال عینی و علمی از دنیای ریاضیات
فرض کنید در یک کلاس درس، معلم ادعا میکند: «همهٔ دانشآموزان این کلاس نمرهٔ قبولی در امتحان ریاضی گرفتهاند» (یک گزارهٔ عمومی). برای بررسی این ادعا، اگر فقط یک دانشآموز به نام علی را پیدا کنیم که نمرهٔ قبولی نگرفته باشد، کل ادعای معلم رد میشود. در اینجا علی همان «مثال نقض» است. پس نقیض گزارهٔ معلم این است: «علی نمرهٔ قبولی نگرفته است» که به صورت کلیتر میشود: «حداقل یک دانشآموز (علی) نمرهٔ قبولی نگرفته است».
حالت دیگر: فرض کنید در یک مسابقهٔ علمی، شرط گذاشتهاند که «برندهای وجود دارد که به تمام سؤالات پاسخ صحیح داده است» (گزارهٔ وجودی). اگر بخواهیم خلاف این را ثابت کنیم، باید نشان دهیم «همهٔ شرکتکنندگان حداقل به یک سؤال پاسخ نادرست دادهاند». یعنی هیچ برندهای با پاسخهای کاملاً صحیح وجود ندارد. این دقیقاً نقیض گزارهٔ وجودی اولیه است.
۶. چالشهای مفهومی
پاسخ: چون نقیض یک گزاره، وضعیت کاملاً متضاد آن گزاره نیست. نقیض «همه فردند» این است که «لااقل یک عدد فرد وجود ندارد» یعنی «بعضی از اعداد فرد نیستند» یا «حداقل یک عدد زوج وجود دارد». جملهٔ «همه زوجند» بسیار قویتر از نقیض واقعی است و لزومی ندارد برای رد ادعای اول، همه زوج باشند.
پاسخ: ابتدا جمله را به زبان سورها ترجمه میکنیم: «برای همهٔ دانشآموزان، دانشآموز تنبل نیست» یا $\forall x, \neg T(x)$. نقیض آن میشود: $\exists x, T(x)$ یعنی «حداقل یک دانشآموز تنبل وجود دارد».
پاسخ: بله. همان طور که در فرمولها دیدیم، نقیق یک گزارهٔ سوری، خود یک گزارهٔ سوری دیگر است (با عوض شدن نوع سور). این ویژگی به ما کمک میکند تا در استدلالهای منطقی به راحتی بین سورها جابجا شویم.
پاورقی
2 قوانین دو مورگان (De Morgan's laws): در منطق کلاسیک، این قوانین رابطهٔ بین نقیض عبارات «و» و «یا» را بیان میکنند: $\neg (A \land B) \equiv (\neg A) \lor (\neg B)$ و $\neg (A \lor B) \equiv (\neg A) \land (\neg B)$. این قوانین به سورها نیز تعمیم داده میشوند.
