عبارت تعریفنشده: وقتی ریاضیات متوقف میشود
۱. صفر، قهرمان بیدعوت: ماجرای تقسیم بر صفر
معروفترین و مهمترین نوع عبارت تعریفنشده، زمانی رخ میدهد که مخرج کسری برابر با صفر باشد. تقسیم یک عدد بر صفر در ریاضیات پایه معنایی ندارد. چرا؟ چون تعریف تقسیم بر اساس عمل ضرب است. میخواهیم عدد a را بر b تقسیم کنیم تا عددی مانند c بیابیم که در آن b × c = a. برای a = 5 و b = 0، به دنبال عددی میگردیم که در 0 ضرب شود و حاصل 5 شود. چنین عددی وجود ندارد (چون هر عدد ضربدر صفر، صفر است). اگر صورت نیز صفر باشد، یعنی 0/0، آنگاه به دنبال عددی میگردیم که ضربدر صفر، صفر شود. این تساوی برای هر عددی برقرار است، پس جواب یکتا نیست و مبهم است. به همین دلیل، هر دو حالت «تعریفنشده» محسوب میشوند.
۲. قلمرو ممنوعه: فراتر از تقسیم بر صفر
عبارات تعریفنشده تنها به مخرج صفر محدود نمیشوند. در حالت کلی، هر عملی که خروجی آن در دستگاه اعداد ما (معمولاً اعداد حقیقی) تعریف نشده باشد، منجر به یک عبارت تعریفنشده میگردد. برخی از مهمترین این موارد عبارتند از:
- ریشههای زوج اعداد منفی: در مجموعه اعداد حقیقی (Real Numbers)، جذر یک عدد منفی ($ \sqrt{-4} $) تعریف نشده است، زیرا هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که با خودش ضرب شود و حاصل یک عدد منفی گردد.
- لگاریتم اعداد نا مثبت: تابع لگاریتم ($ \log_a(x) $) تنها برای ورودیهای اکیداً مثبت ($ x \gt 0 $) تعریف شده است. بنابراین $ \log(0) $ یا $ \log(-5) $ تعریفنشده هستند.
- تانژانت زاویههای خاص: تابع $ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $ در زاویههایی که $ \cos(\theta)=0 $ (مانند $ \theta = 90^{\circ} $ یا $ \frac{\pi}{2} $) تعریفنشده است، زیرا مخرج کسر صفر میشود.
| نوع عمل | مثال عبارت | مقدار x تعریفنشده | دلیل |
|---|---|---|---|
| تقسیم | $ \frac{3x}{x-1} $ | $x = 1$ | مخرج صفر میشود |
| ریشه دوم | $ \sqrt{x-5} $ | $x \lt 5$ | زیر رادیکال منفی میشود (در اعداد حقیقی) |
| لگاریتم | $ \log(2x) $ | $x \le 0$ | ورودی لگاریتم نامثبت است |
| تانژانت | $ \tan(\pi x) $ | $x = 0.5, 1.5, ...$ | کسینوس زاویه صفر میشود |
۳. کاربرد عملی: تعیین دامنه تابع و حل معادلات
شناسایی عبارات تعریفنشده یک مهارت کلیدی در ریاضیات است. اولین گام برای رسم نمودار یک تابع یا حل یک معادله، یافتن دامنه آن تابع است؛ یعنی مجموعه مقادیری از متغیر که تابع برای آنها معنی دارد. برای این کار، باید تمام شرایطی که باعث تعریفنشده شدن عبارت میشوند را پیدا کرده و آن مقادیر را از مجموعه اعداد حقیقی حذف کنیم.
مثال کاربردی: فرض کنید میخواهیم دامنه تابع $ f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{x^2 - 4} $ را پیدا کنیم.
- شرط اول (زیر رادیکال):$ x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3 $
- شرط دوم (مخرج کسر):$ x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $ و $ x \neq -2 $
با ترکیب این دو شرط، دامنه تابع به صورت زیر خواهد بود: $ [-3, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty) $. همانطور که میبینید، مقادیر $ x = -2 $ و $ x = 2 $ باعث تعریفنشده شدن عبارت میشوند، اگرچه $ x = -2 $ در شرط اول ($ x \ge -3 $) صدق میکند.
۴. چالشهای مفهومی
پاسخ: بله، هر دو تعریفنشده هستند اما به دو دلیل متفاوت. $ \frac{5}{0} $ «تعریفنشده» است چون هیچ عددی وجود ندارد که در صفر ضرب شود و 5 بدهد. اما $ \frac{0}{0} $ «مبهم» (Indeterminate) است، زیرا بینهایت عدد وجود دارد که در صفر ضرب شوند و صفر بدهند. در ریاضیات پیشرفتهتر (مثل حد و پیوستگی)، با این دو حالت به شکل متفاوتی برخورد میشود.
پاسخ: خیر. بینهایت یک عدد نیست، بلکه یک مفهوم است. وقتی x به صفر نزدیک میشود، مقدار $ \frac{1}{x} $ بدون حد و مرز بزرگ میشود (به سمت بینهایت میل میکند)، اما در خود نقطه x=0، عبارت تعریفنشده است و هیچ مقدار مشخصی ندارد.
پاسخ: تا حدودی بله. برای مثال، $ \sqrt{-4} $ در اعداد حقیقی تعریفنشده بود، اما در اعداد مختلط برابر $ 2i $ است. با این حال، مشکل تقسیم بر صفر و مبهم بودن $ \frac{0}{0} $ حتی در اعداد مختلط نیز حل نمیشود و همچنان تعریفنشده باقی میمانند.
پاورقی
- 1دامنه (Domain): به مجموعه تمام مقادیر ورودی (معمولاً x) که یک تابع برای آنها خروجی مشخص و معنیداری دارد، گفته میشود.
- 2اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعه تمام اعداد قابل تصور روی محور اعداد، شامل اعداد گویا (کسرها) و اعداد گنگ (مانند π و √2).
- 3مبهم (Indeterminate): به عباراتی مانند 0/0 یا ∞/∞ گفته میشود که خودشان تعریفنشده هستند، اما در مبحث حد، برای بررسی رفتار تابع در اطراف آن نقطه به کار میروند.
- 4اعداد مختلط (Complex Numbers): اعدادی به شکل a + bi که در آن a و b اعداد حقیقی و i واحد موهومی (i² = -1) است.
