ارتفاع از سطح زمین: مفهوم y در مسائل پرتابه
۱. ارتفاع لحظهای: معادله حرکت در راستای قائم
در تحلیل حرکت پرتابه، حرکت در دو جهت افقی و قائم مستقل از هم در نظر گرفته میشود. در راستای قائم (محور y)، جسم تحت تأثیر شتاب ثابت گرانش (g) قرار دارد. اگر جهت بالا را مثبت فرض کنیم، شتاب قائم منفی خواهد بود. معادله ارتفاع لحظهای جسم (y) در هر لحظه t از رابطه زیر به دست میآید:
$y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$در این معادله:
- $y_0$ : ارتفاع اولیه جسم از سطح زمین (بر حسب متر).
- $v_{0y}$ : مؤلفه قائم سرعت اولیه (بر حسب متر بر ثانیه).
- $g$ : شتاب گرانش (حدود $9.8 \, m/s^2$).
- $t$ : زمان سپریشده از لحظه پرتاب (بر حسب ثانیه).
مؤلفه قائم سرعت اولیه خود به زاویه پرتاب ($\theta$) و اندازه سرعت اولیه ($v_0$) وابسته است: $v_{0y} = v_0 \sin \theta$. با دانستن این مقادیر، میتوان ارتفاع جسم را در هر لحظه از مسیر محاسبه کرد.
۲. بیشینه ارتفاع: نقطه اوج مسیر
یکی از مهمترین پارامترها در مسائل پرتابه، بیشینه ارتفاع ($H$) است که جسم به آن میرسد. در این نقطه، سرعت قائم جسم لحظهای صفر میشود. زمان رسیدن به این نقطه ($t_{max}$) از معادله سرعت قائم به دست میآید:
$v_y(t) = v_{0y} - g t = 0 \Rightarrow t_{max} = \frac{v_{0y}}{g}$با جایگذاری این زمان در معادله ارتفاع، فرمول بیشینه ارتفاع حاصل میشود:
این رابطه نشان میدهد که بیشینه ارتفاع با مجذور سرعت اولیه و مجذور سینوس زاویه پرتاب رابطه مستقیم و با شتاب گرانش رابطه عکس دارد. به عنوان مثال، اگر یک توپ با سرعت $20\, m/s$ و زاویه $30^\circ$ از سطح زمین ($y_0=0$) پرتاب شود، بیشینه ارتفاع آن برابر است با:
$H = \frac{(20 \times \sin 30^\circ)^2}{2 \times 9.8} = \frac{(20 \times 0.5)^2}{19.6} = \frac{100}{19.6} \approx 5.1\, m$۳. جدول مقایسه: تأثیر زاویه و سرعت بر ارتفاع
برای درک بهتر اثرگذاری پارامترهای مختلف، جدول زیر بیشینه ارتفاع را برای یک پرتابه با سرعت اولیه ثابت ($v_0 = 20\, m/s$) و زوایای متفاوت نشان میدهد. شتاب گرانش $9.8\, m/s^2$ و ارتفاع اولیه صفر فرض شده است.
| زاویه پرتاب ($\theta$) | مؤلفه قائم سرعت ($v_{0y}$) | بیشینه ارتفاع ($H$) |
|---|---|---|
| $15^\circ$ | $5.18\, m/s$ | $1.37\, m$ |
| $30^\circ$ | $10.0\, m/s$ | $5.10\, m$ |
| $45^\circ$ | $14.14\, m/s$ | $10.20\, m$ |
| $60^\circ$ | $17.32\, m/s$ | $15.30\, m$ |
| $75^\circ$ | $19.32\, m/s$ | $19.05\, m$ |
همانطور که جدول نشان میدهد، با افزایش زاویه تا $90^\circ$ (پرتاب قائم به بالا)، مؤلفه قائم سرعت و در نتیجه بیشینه ارتفاع افزایش مییابد.
۴. مثال عملی: شیرجه یک ورزشکار
یک ورزشکار شیرجه را از سکویی به ارتفاع $10$ متر با سرعت اولیه $3\, m/s$ به سمت بالا انجام میدهد. مطلوب است:
- الف) معادله ارتفاع بر حسب زمان: با فرض جهت بالا مثبت، $y_0 = 10\, m$، $v_{0y}=+3\, m/s$ و $g=9.8\, m/s^2$. معادله به صورت زیر است: $y(t) = 10 + 3t - 4.9t^2$.
- ب) بیشینه ارتفاع از سطح زمین: ابتدا زمان اوج: $t_{max}= \frac{3}{9.8} \approx 0.306\,s$. سپس $H = 10 + 3(0.306) - 4.9(0.306)^2 = 10 + 0.918 - 0.459 \approx 10.459\, m$. ورزشکار حدود $46$ سانتیمتر بالاتر از سکو اوج میگیرد.
- ج) زمان برخورد به آب ($y=0$): باید معادله $0 = 10 + 3t - 4.9t^2$ را حل کرد. ریشه مثبت این معادله $t \approx 1.73\, s$ است.
۵. چالشهای مفهومی
❓ سوال ۱: اگر یک توپ از سطح زمین با زاویه $45^\circ$ پرتاب شود، در کدام نقطه از مسیر، ارتفاع آن با نصف بیشینه ارتفاع برابر است؟
پاسخ این اتفاق در دو نقطه از مسیر رخ میدهد: یکی در زمان صعود و دیگری در زمان فرود. برای یافتن این زمانها، معادله $y(t) = v_0 \sin 45^\circ t - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{H}{2}$ را حل میکنیم. این معادله درجه دوم، دو جواب مثبت برای $t$ خواهد داشت که نشاندهنده دو لحظه عبور از ارتفاع $H/2$ است.
❓ سوال ۲: آیا دو پرتابه با سرعتهای اولیه متفاوت میتوانند بیشینه ارتفاع یکسانی داشته باشند؟
پاسخ بله. از آنجا که $H \propto (v_0 \sin \theta)^2$، یک پرتابه با سرعت بیشتر و زاویه کوچکتر میتواند همان ارتفاع پرتابهای با سرعت کمتر و زاویه بزرگتر را داشته باشد. شرط برابری $v_{01} \sin \theta_1 = v_{02} \sin \theta_2$ است.
❓ سوال ۳: اگر شتاب گرانش دو برابر شود، بیشینه ارتفاع یک پرتابه چه تغییری میکند؟
پاسخ طبق فرمول $H = \frac{v_{0y}^2}{2g}$ (با فرض $y_0=0$)، ارتفاع با شتاب گرانش رابطه عکس دارد. بنابراین اگر $g$ دو برابر شود، بیشینه ارتفاع نصف خواهد شد.
پاورقیها
1پرتابه (Projectile): به هر جسمی که در فضای نزدیک به سطح زمین، تحت تأثیر نیروی گرانش و صرف نظر از مقاومت هوا، پرتاب شود، پرتابه میگویند. مسیر حرکت آن سهمی شکل است.
2شتاب گرانش (Gravitational Acceleration): شتابی است که زمین به اجسام نزدیک به سطح خود میدهد و مقدار آن تقریباً $9.8\, m/s^2$ و جهت آن به سمت مرکز زمین است.
3مؤلفه قائم سرعت (Vertical Component of Velocity): بخشی از بردار سرعت است که در راستای قائم (عمودی) عمل میکند و مسئول تغییر ارتفاع جسم است.
