نقطهی برخورد سهمی با محور yها: جایی که x صفر میشود
در این مقاله به بررسی یکی از مفاهیم پایهای در تحلیل نمودار سهمیها، یعنی عرض از مبدأy‑intercept میپردازیم. نقطهای که سهمی محور قائم (y) را قطع میکند، همواره مختصاتی به صورت (0 , c) دارد. با قرار دادن x=0 در معادلهی درجهدوم، مقدار عدد ثابت c بهدست میآید. این نقطه نهتنها در رسم سریع نمودار کمککننده است، بلکه در مسائل فیزیک، اقتصاد و مهندسی که با معادلات درجهدوم سروکار داریم، نقشی کلیدی ایفا میکند.
مفهوم «قطع محور yها» در سهمی
سهمی نمودار یک تابع درجهدوم به فرم استاندارد $ y = ax^{2} + bx + c $ است. در این معادله، $a$، $b$ و $c$ اعداد ثابتی هستند ($a \neq 0$). محور yها مجموعه نقاطی است که در آنها $x = 0$. برای یافتن نقطهی برخورد سهمی با این محور، کافیست مقدار $x$ را در معادله برابر صفر قرار دهیم:
با قرار دادن $ x = 0 $ در معادلهی $ y = ax^{2} + bx + c $، خواهیم داشت:
$ y = a(0)^{2} + b(0) + c = c $
بنابراین نقطهی برخورد سهمی با محور yها برابر $(0 , c)$ است.
این نقطه را عرض از مبدأy‑intercept مینامیم. مقدار $c$ نهتنها مکان قطع محور را مشخص میکند، بلکه در تعیین وضعیت سهمی نسبت به محورها و همچنین در محاسبهی برخی ویژگیهای دیگر مانند معادلهی محور تقارن1 نقش غیرمستقیم دارد. برای مثال، اگر $c \gt 0$ باشد، سهمی محور y را در بالای مبدأ مختصات قطع میکند و اگر $c \lt 0$ باشد، این نقطه در پایین مبدأ قرار خواهد گرفت.
نقش عدد ثابت c در مختصات نقطه
همانطور که دیدیم، نقطهی قطع محور yها مستقیماً توسط عدد ثابت $c$ در معادله تعیین میشود. اما این عدد از کجا میآید و چه معنایی دارد؟ فرض کنید یک توپ را به سمت بالا پرتاب میکنیم. معادلهی مسیر حرکت آن (با صرفنظر از مقاومت هوا) یک سهمی است. در این معادله، $c$ معرف ارتفاع اولیهی توپ از سطح زمین در لحظهی پرتاب ($x=0$) است. یعنی دقیقاً همان نقطهای که توپ از آنجا رها یا پرتاب میشود.
در یک مثال دیگر، فرض کنید یک شرکت تولیدی، تابع سود خود را به صورت $ P(x) = -2x^{2} + 100x - 300 $ مدلسازی کرده است، که در آن $x$ تعداد محصولات تولیدی است. در اینجا $c = -300$ نشان میدهد که اگر شرکت هیچ محصولی تولید نکند ($x=0$)، به اندازهی 300 واحد (مثلاً میلیون تومان) ضرر خواهد کرد که همان هزینههای ثابت اولیه است.
مثالهای عینی و کاربردی از قطع محور y
برای درک بهتر، چند مثال علمی و عددی را بررسی میکنیم.
- مثال اول (هندسه): معادلهی سهمی $ y = 3x^{2} - 6x + 5 $ را در نظر بگیرید. نقطهی قطع محور y آن برابر است با $(0 , 5)$. یعنی سهمی محور قائم را در نقطهای به ارتفاع 5 واحد قطع میکند.
- مثال دوم (فیزیک): معادلهی حرکت یک گلولهی پرتاب شده به صورت $ h(t) = -4.9t^{2} + 20t + 2 $ است (h بر حسب متر، t بر حسب ثانیه). مقدار $c=2$ نشان میدهد که گلوله از ارتفاع اولیهی 2 متری از سطح زمین پرتاب شده است.
- مثال سوم (اقتصاد): تابع هزینهی یک کارخانه به صورت $ C(x) = 0.5x^{2} + 10x + 1000 $ است. در اینجا $c = 1000$ معرف هزینههای ثابت (مانند اجاره، بیمه و ...) است که حتی اگر تولیدی صورت نگیرد ($x=0$)، باید پرداخت شود.
| علامت c | موقعیت نقطهی برخورد | مثال در فیزیک (ارتفاع اولیه) | وضعیت در نمودار |
|---|---|---|---|
| c > 0 | بالای مبدأ مختصات | پرتاب از روی سکو | مثبت |
| c = 0 | روی مبدأ مختصات | پرتاب از سطح زمین | صفر |
| c | پایین مبدأ مختصات | پرتاب از زیر سطح زمین (چاله) | منفی |
چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: اگر سهمی محور y را قطع نکند، چه؟
آیا ممکن است سهمی اصلاً به محور yها برخورد نکند؟ خیر. از آنجایی که دامنهی هر تابع درجهدوم همهی اعداد حقیقی است، همواره یک مقدار برای $x=0$ وجود دارد. بنابراین قطع محور y برای هر سهمی یک نقطهی منحصربهفرد است. حتی اگر معادله به صورت $ y = ax^{2} + bx $ باشد، مقدار $c=0$ است و سهمی از مبدأ مختصات $(0 , 0)$ عبور میکند.
❓ چالش ۲: تفاوت عرض از مبدأ با رأس سهمی چیست؟
بسیاری از دانشآموزان این دو نقطه را با هم اشتباه میگیرند. رأس سهمی نقطهی ماکزیمم یا مینیمم نمودار است و مختصات آن از فرمول $ x_v = -\frac{b}{2a} $ بهدست میآید، در حالی که عرض از مبدأ صرفاً با قرار دادن $x=0$ حاصل میشود و ربطی به ماکزیمم یا مینیمم بودن ندارد. رأس سهمی معمولاً (به جز موارد خاص) روی محور yها قرار نمیگیرد.
❓ چالش ۳: چگونه از روی نقطهی قطع محور y، معادله را تشخیص دهیم؟
اگر بدانیم یک سهمی از نقطهی $(0 , k)$ میگذرد، بلافاصله میتوانیم نتیجه بگیریم که $c = k$. اما برای تعیین کامل معادله (مقادیر $a$ و $b$) به حداقل دو نقطهی دیگر نیاز داریم. به عبارت دیگر، نقطهی قطع محور y به تنهایی برای رسم کامل سهمی کافی نیست، اما نقطهی شروع بسیار خوبی است.
نقطهی برخورد سهمی با محور yها، که از قرار دادن x=0 و رسیدن به y=c حاصل میشود، یکی از معدود نقاطی است که بدون نیاز به محاسبات پیچیده و فقط با نگاه کردن به معادلهی y = ax^{2} + bx + c قابل تشخیص است. این ویژگی ساده، آن را به ابزاری قدرتمند برای تحلیل سریع رفتار تابع، تعیین علامتها و حتی راستیآزمایی راهحلهای دیگر تبدیل کرده است.
پاورقی
1محور تقارن (Axis of Symmetry): خطی عمودی که سهمی را به دو بخش کاملاً قرینه تقسیم میکند. معادلهی آن $x = -\frac{b}{2a}$ است و ارتباط مستقیمی با مختصات $x$ رأس سهمی دارد.
2عرض از مبدأ (y‑intercept): نقطهای که یک تابع یا نمودار، محور قائم (محور yها) را قطع میکند. در توابع، این نقطه با قرار دادن متغیر مستقل برابر صفر بهدست میآید.
3تابع درجهدوم (Quadratic Function): تابعی به شکل $f(x) = ax^{2} + bx + c$ که در آن $a \neq 0$. نمودار این تابع همواره یک سهمی است.
