نقطه روی سهمی: از تعریف تا کاربرد در مسائل ریاضی
تعریف نقطه روی سهمی و معادله درجهدوم
سهمی1 مکان هندسی نقاطی است که در یک معادله درجهدوم صدق میکنند. بهطور خاص، اگر معادله سهمی به صورت $ y = ax^{2} + bx + c $ باشد، آنگاه هر زوجمرتب مانند $(x_0 , y_0)$ که در این معادله صدق کند، یک «نقطه روی سهمی» نامیده میشود. به عبارت سادهتر، اگر عدد $x_0$ را در معادله قرار دهیم و مقدار بهدستآمده برابر $y_0$ شود، آن نقطه روی سهمی قرار دارد.
برای درک بهتر، معادله $ y = 2x^{2} - 4x + 1 $ را در نظر بگیرید. اگر $x=1$ باشد، خواهیم داشت: $ y = 2(1)^{2} - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 $. بنابراین نقطه $(1,-1)$ روی این سهمی قرار دارد. اما نقطه $(2,3)$ روی سهمی نیست، زیرا با قرار دادن $x=2$ مقدار $y$ برابر $1$ میشود، نه $3$.
روشهای یافتن نقاط کلیدی سهمی
برای رسم و تحلیل یک سهمی، یافتن نقاط خاصی مانند رأس، عرض از مبدأ و نقاط برخورد با محور xها اهمیت دارد. هر یک از این نقاط، خود نمونهای از «نقطه روی سهمی» هستند.
مثال: برای سهمی $ y = x^{2} - 6x + 5 $، مختصات رأس به این ترتیب است: $ x_v = -\frac{-6}{2 \times 1} = 3 $ و $ y_v = (3)^{2} - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 $. بنابراین نقطه (3,-4) رأس این سهمی است.
برای یافتن نقاط برخورد با محور xها، کافی است معادله $ ax^{2} + bx + c = 0 $ را حل کنیم. ریشههای این معادله، همان x نقاطی هستند که سهمی محور افقی را قطع میکند. نقطه برخورد با محور yها نیز به سادگی با قرار دادن $x=0$ بهدست میآید که برابر $(0,c)$ است.
| نوع نقطه | روش محاسبه | مثال برای $y=x^{2}-4x+3$ |
|---|---|---|
| رأس سهمی | $x_v=-\frac{b}{2a}$ | (2,-1) |
| عرض از مبدأ | قرار دادن $x=0$ | (0,3) |
| ریشهها (تقاطع با محور x) | حل $ax^{2}+bx+c=0$ | (1,0) و (3,0) |
کاربرد عملی: تحلیل حرکت پرتابه
یکی از رایجترین کاربردهای مفهوم نقطه روی سهمی در فیزیک و بررسی حرکت پرتابهها2 است. فرض کنید توپی را با زاویه مشخصی به هوا پرتاب میکنیم. مسیر حرکت توپ یک سهمی است. در اینجا، محور x نمایانگر مسافت افقی و محور y نشاندهنده ارتفاع توپ از سطح زمین است.
مثال عینی: معادله مسیر یک توپ به صورت $ y = -0.05x^{2} + x + 1.5 $ داده شده است (ارتفاع و مسافت بر حسب متر). میخواهیم بدانیم توپ در چه فاصله افقیای به بیشترین ارتفاع میرسد و آن حداکثر ارتفاع چقدر است؟ بیشترین ارتفاع همان رأس سهمی است: $ x_v = -\frac{1}{2(-0.05)} = -\frac{1}{-0.1} = 10 $ متر. $ y_v = -0.05(10)^{2} + (10) + 1.5 = -5 + 10 + 1.5 = 6.5 $ متر. بنابراین نقطه (10,6.5) روی سهمی، نشاندهنده بالاترین نقطه مسیر حرکت توپ است.
چالشهای مفهومی
❓ چرا به ازای یک x معین، فقط یک y روی سهمی داریم، اما ممکن است یک y با دو x متناظر باشد؟
چون معادله سهمی به صورت $y=f(x)$ یک تابع است. در توابع، هر ورودی (x) فقط یک خروجی (y) دارد. اما ممکن است یک مقدار مشخص y (مثلاً y=0) در دو نقطه مختلف (دو x) حاصل شود که همان ریشههای معادله هستند.
❓ اگر ممیز (دلتا) در معادله درجهدوم منفی باشد، آنگاه سهمی چند نقطه با محور xها مشترک دارد؟
در این حالت، معادله $ ax^{2} + bx + c = 0 $ ریشه حقیقی ندارد. یعنی سهمی محور xها را قطع نمیکند. بنابراین هیچ نقطهای با $y=0$ روی سهمی وجود ندارد. سهمی یا کاملاً بالای محور xها قرار دارد یا کاملاً پایین آن.
❓ تفاوت نقطه روی سهمی با نقطه روی منحنیهای دیگر مانند دایره چیست؟
مهمترین تفاوت در تعریف تابع بودن یا نبودن است. سهمیهای عمودی (با معادله $y=ax^{2}+...$) یک تابع هستند، اما دایره تابع نیست. برای یک دایره، به ازای یک x ممکن است دو y متفاوت داشته باشیم (نقاط بالایی و پایینی دایره). اما در سهمی (به شکل تابع)، این اتفاق نمیافتد.
پاورقیها
1سهمی (Parabola): منحنیای است که از تمام نقاطی تشکیل شده که فاصله آنها از یک نقطه ثابت (کانون) با فاصله آنها از یک خط ثابت (راهنما) برابر است. در حالت ساده، نمودار تابع درجهدوم به شکل سهمی است.
2حرکت پرتابه (Projectile Motion): حرکتی دوبعدی که در آن به یک جسم سرعت اولیه داده میشود و سپس تنها تحت تأثیر شتاب گرانش (و通常 مقاومت هوا نادیده گرفته میشود) حرکت میکند. مسیر حرکت یک سهمی کامل است.
3ممیز یا دلتا (Discriminant): در معادله درجهدوم $ax^{2}+bx+c=0$، مقدار $\Delta = b^{2}-4ac$ را ممیز میگویند که نوع ریشهها را مشخص میکند.
