مختصات رأس: زوج‌مرتب (h,k) که محل رأس سهمی را در دستگاه مختصات نشان می‌دهد

رأس سهمی: زوج‌مرتب (h,k)؛ مختصات نقطه تغییر مسیر در توابع درجه دوم

۱. رأس سهمی: نقطه عطف منحنی‌های درجه دوم

سهمی¹ نمودار تابعی به فرم $y=ax^2+bx+c$ است که در آن $a \neq 0$. مهم‌ترین نقطه‌ی این منحنی، رأس² نام دارد. می‌توان رأس را نقطه‌ای در نظر گرفت که سهمی در آن، جهت حرکت خود را تغییر می‌دهد؛ به عبارت دیگر، از صعودی به نزولی یا برعکس تبدیل می‌شود. این نقطه، دقیقاً روی محور تقارن³ سهمی قرار دارد و منحنی را به دو بخش کاملاً قرینه تقسیم می‌کند .

از نظر هندسی، اگر سهمی رو به بالا باشد (مانند یک دره)، رأس پایین‌ترین نقطه یا کمینه (مینیمم) نمودار است. اگر سهمی رو به پایین باشد (مانند یک تپه)، رأس بالاترین نقطه یا بیشینه (ماکزیمم) آن خواهد بود . مختصات این نقطهٔ کلیدی را با زوج‌مرتب $(h,k)$ یا $(x_s,y_s)$ نشان می‌دهند.

۲. فرمول‌های طلایی محاسبه مختصات رأس (h و k)

برای یافتن مختصات رأس یک سهمی، دو حالت اصلی وجود دارد که بر اساس فرم معادله، یکی از روش‌ها را انتخاب می‌کنیم.

• فرم کلی $y=ax^2+bx+c$: در این حالت، طول رأس (مختصات $x$) از فرمول $x_s = -\frac{b}{2a}$ محاسبه می‌شود. سپس برای به‌دست آوردن عرض رأس (مختصات $y$)، مقدار $x_s$ را در معادله اصلی جایگذاری می‌کنیم: $y_s = a(x_s)^2 + b(x_s) + c$. روش دیگر، استفاده از فرمول $y_s = -\frac{\Delta}{4a}$ است که در آن $\Delta = b^2-4ac$ .
• فرم استاندارد (رأس) $y=a(x-h)^2+k$: این فرم، که به آن فرم مربع کامل نیز می‌گویند، مختصات رأس را مستقیماً در اختیار ما می‌گذارد. در این حالت، رأس دقیقاً نقطه‌ی $(h, k)$ است. توجه به علامت‌ها در این فرم بسیار حیاتی است. برای مثال، در تابع $y=2(x-3)^2+4$، رأس $(3,4)$ است. اما اگر تابع به صورت $y=2(x+3)^2-4$ داده شود، باید آن را به $y=2(x-(-3))^2+(-4)$ بازنویسی کرد تا رأس یعنی $(-3,-4)$ به درستی تشخیص داده شود .
• فرم ریشه‌ها: اگر تابع درجه دوم به صورت $y=(x-m)(x-n)$ داده شده باشد، طول رأس دقیقاً میانگین دو ریشه است: $x_s = \frac{m+n}{2}$ .

مثال عددی گام‌به‌گام از فرم کلی

برای درک بهتر، رأس سهمی $y = 3x^2 - 6x + 1$ را محاسبه می‌کنیم .

• گام ۱: محاسبه طول رأس ($x_s$)
  $x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-6)}{2 \times 3} = \frac{6}{6} = 1$
• گام ۲: محاسبه عرض رأس ($y_s$) به روش اول (جایگذاری)
  $y_s = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = 3 - 6 + 1 = -2$
• گام ۳: محاسبه عرض رأس به روش دوم (استفاده از دلتا)
  ابتدا $\Delta$ را حساب می‌کنیم: $\Delta = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(3)(1) = 36 - 12 = 24$.
  سپس $y_s = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{24}{4 \times 3} = -\frac{24}{12} = -2$.
  همانطور که مشاهده می‌شود، نتیجه با روش اول یکسان است.

نتیجه: مختصات رأس سهمی، زوج‌مرتب $(1, -2)$ است.

۳. تشخیص نوع رأس: بیشینه است یا کمینه؟ (نقش تعیین‌کننده‌ی a)

یکی از ساده‌ترین و در عین حال مهم‌ترین نکات درباره رأس سهمی، تشخیص این است که آیا این نقطه نشان‌دهنده‌ی بالاترین مقدار (بیشینه) است یا پایین‌ترین مقدار (کمینه). این ویژگی کاملاً به علامت ضریب $a$ در معادله درجه دوم بستگی دارد .

۴. کاربرد عملی رأس در مسائل دنیای واقعی

مفهوم رأس سهمی صرفاً یک انتزاع ریاضی نیست، بلکه در دنیای واقعی کاربردهای فراوانی دارد. در ادامه دو مثال عینی از کاربرد آن را بررسی می‌کنیم. فرض کنید توپی را با سرعت اولیه به سمت بالا پرتاب می‌کنیم. ارتفاع توپ پس از $x$ ثانیه با معادله $h(x) = -5x^2 + 20x + 2$ (بر حسب متر) مدل‌سازی شود . می‌خواهیم بدانیم بیشترین ارتفاع توپ چقدر است و در چه زمانی به این ارتفاع می‌رسد؟

• گام ۱ (تشخیص نوع رأس): چون $a = -5 \lt 0$ است، دهانه سهمی رو به پایین بوده و رأس نشان‌دهنده‌ی بیشینه (ماکزیمم) است .
• گام ۲ (محاسبه زمان رسیدن به بیشینه): طول رأس ($x_s$) را محاسبه می‌کنیم. $x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ ثانیه.
• گام ۳ (محاسبه بیشترین ارتفاع): مقدار $x_s=2$ را در معادله جایگذاری می‌کنیم تا عرض رأس ($y_s$) به‌دست آید: $h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$ متر.

بنابراین، توپ پس از $2$ ثانیه به بیشترین ارتفاع خود یعنی $22$ متر می‌رسد. یک کشاورز می‌خواهد با $100$ متر فنس، یک زمین مستطیل‌شکل را در کنار یک دیوار بلند محصور کند (ضلع مقابل دیوار نیازی به فنس ندارد). ابعاد زمین را طوری بیابید که مساحت آن بیشینه شود .

• گام ۱ (مدل‌سازی مسئله): اگر عرض زمین (عمود بر دیوار) را $x$ و طول زمین (موازی با دیوار) را $y$ بنامیم، مقدار فنس مصرفی عبارت است از: $2x + y = 100$. مساحت نیز برابر $S = x \times y$ است. با جایگذاری $y = 100 - 2x$ در فرمول مساحت، تابع درجه دوم زیر حاصل می‌شود: $S(x) = x(100-2x) = -2x^2 + 100x$.
• گام ۲ (تعیین نوع بهینگی): ضریب $a = -2 \lt 0$ است، پس تابع مساحت دارای بیشینه (ماکزیمم) می‌باشد و رأس آن نقطه بهینه است.
• گام ۳ (یافتن عرض بهینه): طول رأس ($x_s$) را محاسبه می‌کنیم. $x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2 \times (-2)} = -\frac{100}{-4} = 25$ متر.
• گام ۴ (یافتن طول بهینه):$y = 100 - 2(25) = 50$ متر.

پس با ابعاد $25$ متر (عرض) و $50$ متر (طول)، بیشینه مساحت برابر $S = 25 \times 50 = 1250$ متر مربع خواهد بود.

۵. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)

پاورقی‌