جدول ارزش گزارهها در منطق ریاضی
گزاره و ارزشهای درستی
در منطق ریاضی، گزاره جملهای خبری است که یا کاملاً درست است یا کاملاً نادرست. به هر یک از این دو حالت، یک ارزش درستی نسبت داده میشود: معمولاً T یا 1 برای درستی و F یا 0 برای نادرستی. برای نمونه، گزاره «عدد 3 فرد است» درست، و گزاره « 2 > 5 » نادرست است. هر گزارهٔ ساده را با یک حرف لاتین مانند \(p\)، \(q\) یا \(r\) نمایش میدهیم. جدول ارزش، حالتهای ممکن این گزارهها را به صورت سیستماتیک فهرست میکند.
ادات منطقی پایه و جدولهای متناظر
ادات منطقی2 مانند «نفی»، «و»، «یا»، «اگر... آنگاه» و «اگر و فقط اگر» به ما امکان میدهند گزارههای ساده را به گزارههای مرکب تبدیل کنیم. هر یک از این ادات یک جدول ارزش مخصوص به خود دارد که رفتار آن را تعریف میکند.
| نام عامل | نماد ریاضی | مثال جمله | توضیح مختصر |
|---|---|---|---|
| نفی | \(\lnot p\) یا \(\sim p\) | امروز بارانی نیست | عکس مقدار گزاره |
| عطف (و) | \(p \land q\) | هوا آفتابی است و باد میوزد | فقط وقتی درست که هر دو درست باشند |
| فصل (یا) | \(p \lor q\) | او کتاب میخواند یا فیلم میبیند | نادرست فقط وقتی که هر دو نادرست باشند |
| شرطی (اگر... آنگاه) | \(p \to q\) | اگر باران ببارد، زمین خیس میشود | نادرست فقط وقتی مقدم درست و تالی نادرست باشد |
| دوشرطی (اگر و فقط اگر) | \(p \leftrightarrow q\) | مثلث متساویالاضلاع است اگر و فقط اگر سه ضلع برابر داشته باشد | درست وقتی هر دو یکسان باشند |
ساختار گامبهگام جدول ارزش برای دو گزاره
برای ساختن جدول ارزش یک گزارهٔ مرکب شامل دو گزارهٔ ساده \(p\) و \(q\)، ابتدا تمام ترکیبهای ممکن ارزش آنها را مینویسیم: (1,1)، (1,0)، (0,1) و (0,0). سپس ارزش هر زیرگزاره را به ترتیب اولویت (پرانتز، نفی، عطف و فصل، شرطی، دوشرطی) محاسبه میکنیم. در ادامه جدول ارزش برای گزارهٔ \((p \land q) \to \lnot p\) را گامبهگام میبینیم.
| \(p\) | \(q\) | \(p \land q\) | \(\lnot p\) | \((p \land q) \to \lnot p\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
در این جدول، ستون آخر نتیجهٔ نهایی را نشان میدهد. همانطور که میبینید این گزارهٔ شرطی در سه حالت درست و فقط در یک حالت (هر دو گزاره درست) نادرست است.
کاربرد عملی: اثبات همارزی منطقی با جدول
یکی از کاربردهای مهم جدول ارزش، اثبات همارزی دو گزاره است. دو گزاره همارز3 هستند اگر در تمام حالتها ارزش یکسانی داشته باشند. برای نمونه، قانون معروف دمورگان میگوید که نفی فصل دو گزاره با عطف نقیض آنها همارز است: \(\lnot (p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q\). در ادامه با جدول این همارزی را بررسی میکنیم.
| \(p\) | \(q\) | \(p \lor q\) | \(\lnot (p \lor q)\) | \(\lnot p\) | \(\lnot q\) | \(\lnot p \land \lnot q\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
مقایسهٔ ستون چهارم و هشتم نشان میدهد که در تمام ردیفها ارزش آنها با هم برابر است. بنابراین دو گزاره با یکدیگر همارزند. این روش برای بررسی هر نوع تساوی منطقی دیگری مانند \(p \to q \equiv \lnot p \lor q\) نیز کاربرد دارد.
چالشهای مفهومی جدول ارزش
پاسخ: در منطق، شرطی مادهای (implication) وعدهای است که میگوید هرگاه \(p\) درست باشد، \(q\) نیز باید درست باشد. اگر \(p\) نادرست باشد، شرط نقض نشده و وعده همچنان معتبر است. مانند این جمله: «اگر باران ببارد، چتر را برمیدارم». اگر باران نبارد، صرفنظر از اینکه چتر را بردارم یا نه، نمیتوان گفت که دروغ گفتهام.
پاسخ: گزارهای تاتولوژی (همیشهدرست) نامیده میشود که در تمام سطرهای جدول ارزش، نتیجهٔ نهایی آن «درست» باشد. برای مثال \(p \lor \lnot p\) یک تاتولوژی است. اگر در جدول آن را بررسی کنید، در هر دو حالت ممکن برای \(p\)، خروجی 1 خواهد بود.
پاسخ: گزارهٔ متناقض (تناقض) وضعیتی است که در تمام سطرهای جدول، خروجی «نادرست» باشد؛ مانند \(p \land \lnot p\). چنین گزارهای به هیچ وجه نمیتواند درست باشد و در استدلالها نشانهٔ ناسازگاری فرضهاست.
پاورقی
1 قوانین دمورگان (De Morgan's Laws): دو قاعده در منطق که رابطهٔ بین عطف، فصل و نفی را نشان میدهند: \(\lnot (p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q\) و \(\lnot (p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q\).
2 ادات منطقی (Logical Connectives): عملگرهایی مانند نفی، عطف، فصل، شرطی و دوشرطی که برای ترکیب گزارهها به کار میروند.
3 همارزی منطقی (Logical Equivalence): وضعیتی که دو گزاره در تمام مدلها (حالتها) ارزش درستی یکسان دارند.
4 تاتولوژی (Tautology): گزارهای که در تمام تفسیرها (حالتهای ممکن) درست است.
