سهمی: از تعریف ریاضی تا رسم نمودار
۱. ساختار سهمی: تأثیر ضرایب a، b و c
معادلهٔ استاندارد یک سهمی به صورت $y=ax^2+bx+c$ نوشته میشود که در آن $a \neq 0$. هر یک از ضرایب نقشی کلیدی در شکل و موقعیت سهمی دارند.
- ضریب a : تعیینکنندهٔ جهت باز شدن سهمی است. اگر $a \gt 0$، سهمی رو به بالا باز میشود و یک کمینه دارد. اگر $a \lt 0$، سهمی رو به پایین باز شده و دارای یک بیشینه است. هر چه قدر مطلق $a$ بزرگتر باشد، سهمی «باریکتر» و هر چه کوچکتر باشد، سهمی «پهنتر» خواهد بود.
- ضریب c : نشاندهندهٔ عرض از مبدأ است؛ یعنی نقطهای که سهمی محور عرضها ($y$) را قطع میکند. مختصات این نقطه همیشه $(0,c)$ است.
- ضریب b : همراه با $a$ موقعیت افقی رأس سهمی را تعیین میکند. فرمول مختصات رأس $(h,k)$ به صورت زیر است: $h=-\frac{b}{2a}$ و $k=y(h)=ah^2+bh+c$.
برای روشن شدن موضوع، سهمی $y=2x^2-4x+1$ را در نظر بگیرید. در این معادله $a=2 \gt 0$، پس سهمی رو به بالا است. عرض از مبدأ آن $1$ و مختصات رأس آن برابر است با $h=-\frac{-4}{2\times2}=1$ و $k=2(1)^2-4(1)+1=-1$.
۲. روشهای نوشتن معادلهٔ سهمی
معادلهٔ یک سهمی را میتوان به سه شکل اصلی نوشت که هر کدام برای یافتن ویژگی خاصی از منحنی مفید هستند.
| نام فرم | معادله | کاربرد اصلی |
|---|---|---|
| استاندارد (درجهدوم) | $y=ax^2+bx+c$ | تشخیص سریع عرض از مبدأ ($c$) و جهت تقعر ($a$) |
| رأس[۲] | $y=a(x-h)^2+k$ | مشاهدهٔ مستقیم مختصات رأس $(h,k)$ |
| گسسته[۳] | $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ | نمایش ریشهها (طول از مبدأها)ی سهمی |
مثال عینی: فرض کنید میخواهیم سهمی را رسم کنیم که از نقاط $(2,0)$ و $(4,0)$ عبور کرده و رأس آن در $(3, -2)$ است. بهترین گزینه استفاده از فرم رأس است: $y=a(x-3)^2-2$. با جایگذاری یکی از نقاط مانند $(2,0)$ مقدار $a$ بهدست میآید: $0=a(2-3)^2-2 \Rightarrow 0=a-2 \Rightarrow a=2$. بنابراین معادلهٔ سهمی $y=2(x-3)^2-2$ است.
۳. روند گامبهگام رسم سهمی
برای رسم یک سهمی به صورت دستی، میتوانید مراحل زیر را دنبال کنید. این مراحل را با مثال $y=-x^2+4x-3$ پیش میرویم.
ضریب $a=-1$ است. از آنجایی که $a \lt 0$، سهمی رو به پایین باز میشود و رأس آن یک نقطهٔ بیشینه خواهد بود.
$h=-\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$
$k=y(2) = -(2)^2 + 4(2) -3 = -4+8-3=1$
مختصات رأس: $(2,1)$
با قرار دادن $x=0$ داریم: $y=-3$. بنابراین نقطه $(0,-3)$ روی سهمی قرار دارد.
معادله $-x^2+4x-3=0$ را حل میکنیم. با ضرب در $-1$: $x^2-4x+3=0$. با فاکتورگیری: $(x-1)(x-3)=0$، بنابراین ریشهها $x=1$ و $x=3$ هستند. نقاط $(1,0)$ و $(3,0)$ محل برخورد سهمی با محور $x$ هستند.
با در دست داشتن رأس، عرض از مبدأ و ریشهها، میتوانیم به راحتی سهمی را رسم کنیم. محور تقارن سهمی خطی عمودی به معادلهٔ $x=2$ است که از رأس میگذرد.
۴. کاربرد سهمی در مسائل بهینهسازی
یکی از مهمترین کاربردهای سهمی، مدلسازی مسائل بهینهسازی (بیشترین یا کمترین مقدار یک کمیت) است. فرض کنید یک پرتابگر، مسیر توپی را با معادلهٔ $h(t)=-5t^2+20t+2$ پرتاب کند، که در آن $h$ ارتفاع بر حسب متر و $t$ زمان بر حسب ثانیه است.
- حداکثر ارتفاع: چون $a=-5 \lt 0$، سهمی رو به پایین است و رأس آن نقطهٔ بیشینه را نشان میدهد. زمان رسیدن به بیشینه: $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ ثانیه. ارتفاع در این لحظه: $h(2) = -5(2)^2+20(2)+2 = 22$ متر.
- زمان برخورد به زمین: زمانی که $h(t)=0$ باشد. معادلهٔ $-5t^2+20t+2=0$ را حل میکنیم. ریشهٔ مثبت آن تقریباً $t \approx 4.1$ ثانیه است.
این مثال نشان میدهد چگونه یک سهمی ساده میتواند رفتار یک پدیدهٔ فیزیکی را به خوبی توصیف کند.
۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
✅ پاسخ: در این حالت معادله به صورت $y=ax^2+c$ درمیآید. محور تقارن سهمی همان محور عرضها ($x=0$) خواهد بود. به عبارت دیگر، رأس سهمی روی محور $y$ و در نقطهٔ $(0,c)$ قرار میگیرد و سهمی نسبت به این محور متقارن است.
✅ پاسخ: بله. سهمی محور $x$ را قطع نمیکند اگر معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ ریشهٔ حقیقی نداشته باشد. این اتفاق زمانی میافتد که مقدار ممیز[۴] ($\Delta = b^2-4ac$) منفی باشد ($\Delta \lt 0$). در این حالت سهمی کاملاً بالای محور $x$ (اگر $a \gt 0$) یا کاملاً پایین محور $x$ (اگر $a \lt 0$) قرار میگیرد.
✅ پاسخ: علامت $a$ را از روی جهت باز شدن سهمی میفهمیم: دهانهٔ رو به بالا یعنی $a \gt 0$ و دهانهٔ رو به پایین یعنی $a \lt 0$. علامت $c$ نیز از محل برخورد نمودار با محور $y$ به دست میآید: اگر این نقطه بالای مبدأ ($y \gt 0$) باشد، $c \gt 0$ و اگر پایین مبدأ ($y \lt 0$) باشد، $c \lt 0$.
پاورقیها
[۱]Parabola : منحنیای است که مجموعه نقاطی در صفحه هستند که از یک خط ثابت (مختص) و یک نقطهٔ ثابت (کانون) به یک فاصلهاند.
[۲]Vertex Form : شکلی از معادله درجهدوم که در آن مختصات رأس سهمی به صورت واضح قابل مشاهده است.
[۳]Factored / Intercept Form : شکلی از معادله درجهدوم که در آن ریشههای معادله (محلهای برخورد با محور xها) به صورت مستقیم دیده میشوند.
[۴]Discriminant : مقداری که در معادله درجهدوم، تعداد و نوع ریشهها را مشخص میکند و با علامت $\Delta$ (دلتا) نشان داده میشود.
