شرط یک ریشه حقیقی: اگر Δ=0 باشد، معادله درجه دوم یک ریشه حقیقی دارد
ممیز (دلتا) چیست و چه نقشی دارد؟
معادله درجه دوم به شکل استاندارد $ax^2 + bx + c = 0$ نوشته میشود که در آن a، b و c ضرایب حقیقی هستند و $a \neq 0$. برای یافتن ریشههای این معادله، از فرمول کلی زیر استفاده میکنیم:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
عبارتی که در زیر رادیکال قرار دارد، یعنی $b^2 - 4ac$، ممیز یا دلتا ($\Delta$) نامیده میشود. این عبارت کوچک، اطلاعات بسیار مهمی درباره ماهیت ریشههای معادله به ما میدهد:
- اگر $\Delta \gt 0$ باشد، معادله دو ریشه حقیقی متفاوت دارد.
- اگر $\Delta = 0$ باشد، معادله یک ریشه حقیقی (یا دو ریشه مساوی) دارد.
- اگر $\Delta \lt 0$ باشد، معادله ریشه حقیقی ندارد (دو ریشه مختلط* غیرحقیقی دارد).
در این مقاله، تمرکز خود را روی حالت دوم، یعنی $\Delta = 0$ و مفهوم «یک ریشه حقیقی» معطوف میکنیم.
تحلیل شرط Δ=0 و ریشه مضاعف
وقتی $\Delta = 0$ باشد، فرمول کلی حل معادله به شکل زیر ساده میشود:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}$
همانطور که میبینید، علامت $\pm$ دیگر اثری ندارد، چون صرفنظر از اینکه با $+$ یا $-$ حساب کنیم، نتیجه یکسان و برابر با $-\frac{b}{2a}$ خواهد بود. این مقدار منحصربهفرد، همان ریشه معادله است. از نظر هندسی، در این حالت، سهمی* مرتبط با معادله، محور xها را دقیقاً در یک نقطه لمس میکند (بر آن مماس میشود) و آن را قطع نمیکند.
بررسی شرط با مثالهای عددی گامبهگام
برای درک بهتر، چند معادله را با دقت بررسی میکنیم. ابتدا شرط برقراری $\Delta = 0$ را روی آنها اعمال کرده، سپس ریشه را پیدا میکنیم.
مثال اول: معادله $4x^2 - 12x + 9 = 0$ را در نظر بگیرید. در اینجا $a = 4$، $b = -12$ و $c = 9$ است.
- گام اول: محاسبه دلتا
$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \times 4 \times 9 = 144 - 144 = 0$. - گام دوم: نتیجهگیری
چون $\Delta = 0$ است، پس این معادله یک ریشه حقیقی مضاعف دارد. - گام سوم: یافتن ریشه
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-12)}{2 \times 4} = \frac{12}{8} = 1.5$ یا $\frac{3}{2}$.
مثال دوم: معادله $x^2 - 6x + 9 = 0$ را بررسی کنیم. در اینجا $a = 1$، $b = -6$ و $c = 9$ است.
- گام اول:$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$.
- گام دوم: معادله یک ریشه مضاعف دارد.
- گام سوم:$x = \frac{-(-6)}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3$.
همانطور که مشاهده میکنید، هر دو معادله با داشتن شرط $\Delta = 0$، تنها یک جواب حقیقی ارائه میدهند.
کاربرد عملی: تعیین پارامتر مجهول برای داشتن یک ریشه
یکی از مهمترین کاربردهای شرط $\Delta = 0$، پیدا کردن مقدار یک پارامتر (ضریب مجهول) در معادله است، بهگونهای که معادله دقیقاً یک ریشه داشته باشد. فرض کنید میخواهیم مقدار $k$ را در معادله $x^2 - 4x + k = 0$ طوری پیدا کنیم که معادله یک ریشه حقیقی داشته باشد.
برای حل، کافی است دلتا را محاسبه کرده و آن را مساوی صفر قرار دهیم:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 1 \times k = 16 - 4k$
شرط $\Delta = 0$ را اعمال میکنیم:
$16 - 4k = 0 \Rightarrow 4k = 16 \Rightarrow k = 4$
پس اگر $k = 4$ باشد، معادله به $x^2 -4x + 4=0$ تبدیل میشود که $\Delta=0$ است و یک ریشه مضاعف برابر با $x=2$ خواهد داشت.
| مقدار دلتا ($\Delta$) | نوع ریشهها | تعبیر هندسی (سهمی) |
|---|---|---|
| $\Delta \gt 0$ | دو ریشه حقیقی متفاوت | سهمی محور xها را در دو نقطه قطع میکند |
| $\Delta = 0$ | یک ریشه حقیقی (مضاعف) | سهمی مماس بر محور xها است |
| $\Delta \lt 0$ | دو ریشه مختلط غیرحقیقی | سهمی محور xها را قطع یا لمس نمیکند |
چالشهای مفهومی
❓ چالش اول: اگر $\Delta = 0$ باشد، چرا میگوییم «یک ریشه» در حالی که فرمول کلی علامت $\pm$ دارد؟
زیرا وقتی $\Delta = 0$ است، عبارت $\pm\sqrt{\Delta}$ برابر با $\pm 0$ میشود که تفاوتی در نتیجه نهایی ایجاد نمیکند. هر دو جواب به دست آمده یکی هستند. در جبر به این حالت «ریشه مضاعف» میگوییم، یعنی یک ریشه که دو بار تکرار شده است.
❓ چالش دوم: آیا ممکن است یک معادله درجه دوم با $\Delta = 0$، ریشه نداشته باشد؟
خیر. هر معادله درجه دوم با ضرایب حقیقی، همواره در مجموعه اعداد مختلط دو ریشه دارد. وقتی $\Delta = 0$ باشد، آن دو ریشه با هم برابر و حقیقی هستند. پس به هیچ وجه ریشهای از دست نمیرود، بلکه دو ریشه بر هم منطبق میشوند.
❓ چالش سوم: تفاوت «یک ریشه» و «ریشههای برابر» در چیست؟
از نظر عددی هیچ تفاوتی ندارند. هر دو اشاره به یک مقدار دارند. اما «ریشههای برابر» از دیدگاه نظریه معادلات و تجزیه عبارتهای جبری اهمیت دارد. وقتی میگوییم ریشهها برابرند، یعنی معادله را میتوان به صورت $a(x - r)^2 = 0$ نوشت که در آن $r$ ریشه مضاعف است.
پاورقی
1. ممیز (Discriminant): عبارتی در جبر که اطلاعاتی درباره ماهیت ریشههای یک چندجملهای میدهد. برای معادله درجه دوم $ax^2+bx+c=0$، ممیز به صورت $\Delta = b^2-4ac$ تعریف میشود.
2. ریشه مضاعف (Double Root): به ریشهای از یک معادله گویند که حداقل دو بار در تجزیه معادله ظاهر شود. در معادلات درجه دوم، زمانی که $\Delta = 0$ باشد، ریشه مضاعف داریم.
*مختلط (Complex): اعدادی به شکل $a+bi$ که در آن $i = \sqrt{-1}$ است.
*سهمی (Parabola): نمودار توابع درجه دوم که به شکل منحنیای متقارن است.
