گزاره: جملهٔ خبری که فقط یکی از دو حالتِ درست یا نادرست را دارد.

گزاره: جمله‌ای خبری با ارزش درست یا نادرست

ویژگی‌های اصلی یک گزاره

برای این که یک جمله خبری را گزاره بنامیم، باید دو ویژگی اساسی داشته باشد: اولاً حتماً خبری باشد (نه پرسشی، امری یا عاطفی) و ثانیاً ارزش درستی آن (درست یا نادرست بودن) برای ما مشخص باشد، حتی اگر در حال حاضر ندانیم کدامیک صادق است.

به مثال‌های زیر توجه کنید:

• خورشید یک ستاره است. این جمله خبری است و می‌دانیم درست است. پس یک گزاره است.
• ۵ عددی زوج است. جمله خبری است و می‌دانیم نادرست است. باز هم یک گزاره است.
• آیا باران می‌بارد؟ این جمله پرسشی است و خبری نیست، پس گزاره نیست.
• x + ۲ = ۵ این عبارت، تا زمانی که x مشخص نباشد، خبری نیست و نمی‌توان برای آن ارزش درستی تعیین کرد. بنابراین گزاره نیست. به این نوع عبارت، عبارت شرطی یا گزاره‌باز می‌گویند.

ارزش درستی و جدول درستی

به درست یا نادرست بودن یک گزاره، ارزش درستی آن می‌گویند. معمولاً برای نشان دادن درستی از نماد $\top$ (True) یا عدد ۱ و برای نادرستی از $\bot$ (False) یا عدد ۰ استفاده می‌کنیم. در منطق ریاضی، گزاره‌های ساده را با حروفی مانند p، q یا r نشان می‌دهیم و با استفاده از جدول درستی، تأثیر عملگرهای منطقی را روی آنها بررسی می‌کنیم.

برای نمونه، اگر $p$ یک گزاره باشد، نقیض آن یعنی $\neg p$ (نه $p$) ارزشی مخالف $p$ دارد. جدول زیر این رابطه را نشان می‌دهد:

انواع گزاره از نظر ریاضی

در ریاضیات، گزاره‌ها را بر اساس ساختار و کاربردشان دسته‌بندی می‌کنند:

• گزاره‌های ساده (اتمی)¹: ساده‌ترین نوع گزاره که قابل تجزیه به گزاره کوچکتر نیست. مانند «عدد ۲ اول است.»
• گزاره‌های مرکب²: از ترکیب گزاره‌های ساده با استفاده از پیوندگرهای منطقی³ ساخته می‌شوند. مانند «عدد ۲ اول است و عدد ۴ زوج است.» پیوندگرهای اصلی شامل «و» ($\land$)، «یا» ($\lor$)، «اگر... آنگاه...» ($\to$) و «اگر و فقط اگر» ($\leftrightarrow$) هستند.
• گزاره‌های شرطی: رایج‌ترین نوع گزاره مرکب که به صورت $p \to q$ نوشته می‌شود. یعنی اگر $p$ درست باشد، آنگاه $q$ نیز درست است. برای مثال: «اگر باران ببارد، زمین خیس می‌شود.»

کاربرد گزاره‌ها در استدلال و حل مسئله

فرض کنید در یک مسابقه، دو دوست به نام‌های علی و سارا شرکت کرده‌اند. می‌دانیم که اگر علی برنده شود، سارا خوشحال می‌شود. همچنین علی برنده شده است. با استفاده از منطق گزاره‌ها، می‌توان نتیجه گرفت که سارا حتماً خوشحال خواهد شد. این یک استدلال ساده اما بسیار رایج است که پایه و اساس بسیاری از اثبات‌های ریاضی و حتی تصمیم‌گیری‌های روزمره ما را تشکیل می‌دهد.

در علوم کامپیوتر، از گزاره‌ها برای طراحی مدارهای دیجیتال و نوشتن برنامه‌های هوشمند استفاده می‌شود. در فلسفه، برای تحلیل استدلال‌ها و تشخیص درستی یا نادرستی آنها از گزاره‌ها بهره می‌برند.

چالش‌های مفهومی

جدول مقایسه انواع گزاره‌ها

پاورقی

¹ گزاره ساده (Atomic Proposition): گزاره‌ای که نمی‌توان آن را به گزاره‌های کوچکتر و ساده‌تر تجزیه کرد.
² گزاره مرکب (Compound Proposition): گزاره‌ای که از ترکیب دو یا چند گزاره ساده با استفاده از پیوندگرهای منطقی ساخته می‌شود.
³ پیوندگرهای منطقی (Logical Connectives): عملگرهایی مانند «و» (and)، «یا» (or)، «اگر... آنگاه...» (if... then...) که برای ساختن گزاره‌های مرکب به کار می‌روند.
⁴ اصل دو ارزشی (Principle of Bivalence): اصلی در منطق کلاسیک که می‌گوید هر گزاره یا کاملاً درست است یا کاملاً نادرست و هیچ ارزش سومی ندارد.