روش مربع کامل: از معادله تا مربعسازی عبارتهای جبری
مفهوم مربع کامل در جبر
مربع کامل به عبارتی جبری گفته میشود که بتوان آن را به صورت مربع یک دوجملهای نوشت. برای مثال، $x^2+6x+9$ یک مربع کامل است زیرا برابر با $(x+3)^2$ میباشد. اما بسیاری از معادلات درجه دوم مانند $x^2+6x+4=0$ به این شکل نیستند. در اینجا روش مربع کامل به کمک ما میآید تا با انجام یک سری عملیات جبری، عبارت را به فرم مربع یک دوجملهای به اضافه یک مقدار ثابت تبدیل کنیم. این تکنیک نهتنها برای حل معادلات، که در رسم نمودار توابع درجه دوم و پیدا کردن رأس سهمی1 نیز کاربرد دارد.
گامهای طلایی برای کامل کردن مربع
برای تبدیل یک عبارت درجه دوم به فرم مربع کامل، یک الگوی ثابت وجود دارد. فرض کنید عبارت ما به صورت $x^2+bx+c$ باشد (ضریب $x^2$ برابر ۱ است). مراحل زیر را به ترتیب انجام دهید:
- گام ۱ ثابت ($c$) را به سمت دیگر معادله (سمت راست) منتقل کنید.
- گام ۲ عددی را به دو طرف معادله اضافه کنید که با جمله $x^2+bx$ یک مربع کامل بسازد. این عدد برابر است با $(\frac{b}{2})^2$.
- گام ۳ سمت چپ معادله را به صورت مربع یک دوجملهای بنویسید: $(x+\frac{b}{2})^2$.
- گام ۴ با جابجایی اعداد، معادله را به شکل استاندارد درآورده و در صورت نیاز، جذر بگیرید.
مثال عینی: معادله $x^2+6x-7=0$ را در نظر بگیرید. طبق گامها:
زمانی که ضریب $x^2$ برابر یک نیست
در بسیاری از معادلات، ضریب جمله درجه دوم مخالف یک است، مانند $2x^2+8x+3=0$. در این موارد، ابتدا کل معادله را بر ضریب $x^2$ (اینجا ۲) تقسیم میکنیم تا ضریب جمله درجه دوم به ۱ تبدیل شود. سپس مراحل اصلی روش مربع کامل را اجرا میکنیم.
اکنون عبارت $x^2+4x$ را داریم. عدد $(\frac{4}{2})^2 = 4$ را به دو طرف اضافه میکنیم:
بنابراین ریشهها به صورت $x = -2 \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ به دست میآیند.
کاربرد روش مربع کامل در رسم نمودار
یکی از کاربردهای بسیار مهم این روش، پیدا کردن رأس سهمی و خط تقارن آن است. فرم کلی یک تابع درجه دوم $y=ax^2+bx+c$ است. با کامل کردن مربع، این تابع به فرم $y=a(x-h)^2+k$ تبدیل میشود که در آن مختصات رأس سهمی $(h,k)$ است. برای مثال، تابع $y=x^2-4x+1$ را در نظر بگیرید:
- مرحله$x^2-4x = -1$.
- مرحله عدد $(\frac{-4}{2})^2=4$ را به دو طرف اضافه کنید: $x^2-4x+4 = 3$.
- مرحله سمت چپ را به صورت مربع بنویسید: $(x-2)^2 = 3$.
در نتیجه شکل استاندارد تابع $y=(x-2)^2-3$ است و رأس سهمی در نقطه $(2,-3)$ قرار دارد.
| روش حل | مزایا | معایب |
|---|---|---|
| مربع کامل | درک عمیق ساختار سهمی، یافتن رأس | برای ضرایب کسری کمی وقتگیر است |
| فرمول کلی | سریع و مستقیم برای ریشهیابی | فاقد اطلاعات درباره رأس سهمی |
| تجزیه (فاکتورگیری) | سادهترین روش در صورت وجود ریشههای گویا | برای همه معادلات قابل استفاده نیست |
چالشهای مفهومی رایج در روش مربع کامل
❓ چرا باید عدد $(\frac{b}{2})^2$ را به معادله اضافه کنیم؟
این عدد از اتحاد مربع یک دوجملهای به دست میآید: $(x+m)^2 = x^2+2mx+m^2$. در عبارت ما $b = 2m$ است، پس $m = \frac{b}{2}$ و عدد لازم برای کامل کردن مربع $m^2 = (\frac{b}{2})^2$ خواهد بود.
❓ اگر ضریب $x^2$ منفی باشد چه باید کرد؟
مانند حالت معمول، ابتدا کل معادله را بر قدر مطلق ضریب $x^2$ تقسیم کنید تا ضریب مثبت ۱ به دست آید. سپس مراحل استاندارد را دنبال کنید. دقت کنید که علامت منفی در نهایت در ساختار $a(x-h)^2+k$ تأثیر خواهد گذاشت.
❓ چرا گاهی جوابها به صورت اعداد مختلط2 ظاهر میشوند؟
زمانی که در مرحله جذر گرفتن، سمت راست معادله عددی منفی باشد (مانند $(x+p)^2 = -q$ با $q>0$)، در مجموعه اعداد حقیقی جوابی وجود ندارد. اما اگر دامنه را به اعداد مختلط گسترش دهیم، جوابها به صورت $x=-p \pm i\sqrt{q}$ خواهند بود.
چرا مربع کامل؟ (یک مثال عملی)
فرض کنید یک توپ را به سمت بالا پرتاب کردهاید. ارتفاع توپ پس از $t$ ثانیه از رابطه $h(t) = -5t^2+20t+2$ به دست میآید. میخواهید بدانید حداکثر ارتفاع چقدر است و در چه زمانی به آن میرسد؟ با روش مربع کامل، تابع را به فرم استاندارد تبدیل میکنیم:
بنابراین $h(t) = -5(t-2)^2 +22$. رأس سهمی در $(2,22)$ است؛ یعنی حداکثر ارتفاع $22$ متر بوده و در زمان $2$ ثانیه به آن میرسد. این اطلاعات با روشهای دیگر به این آسانی به دست نمیآید.
پاورقیها
1سهمی (Parabola): منحنی حاصل از رسم تابع درجه دوم که به شکل U یا ∩ است.
2اعداد مختلط (Complex Numbers): اعدادی به شکل $a+bi$ که در آن $i = \sqrt{-1}$ است و برای ریشهگیری از اعداد منفی به کار میروند.
