اتحاد مزدوج: روشی برای تجزیه با استفاده از رابطهای مانند x²–a²=(x–a)(x+a)
تعریف اتحاد مزدوج و ساختار آن
اتحاد مزدوج که با نام «اتحاد تفاضل مربعات»[3] نیز شناخته میشود، یکی از اساسیترین روابط جبری است. این اتحاد بیان میکند که حاصلضرب جمع و تفریق دو عبارت (یک جملهای یا چند جملهای) برابر با تفاضل مربعات آنها است. صورت کلی آن به شکل زیر نوشته میشود:
در این رابطه، $A$ و $B$ میتوانند هر عبارت ریاضی باشند. اگر جهت مخالف آن را در نظر بگیریم، به فرم تجزیه شده میرسیم:
برای مثال، اگر $A = x$ و $B = a$ باشد، به رابطهی معروف $x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$ میرسیم. برای درک بهتر، عبارت $x^2 - 16$ را در نظر بگیرید. با توجه به اینکه $16 = 4^2$ است، داریم:
اتحاد مزدوج تنها زمانی کاربرد مستقیم دارد که بین دو جمله، علامت «منفی» باشد. به عبارت $x^2 + a^2$ نمیتوان این اتحاد را اعمال کرد، مگر با استفاده از اعداد مختلط که در دبیرستان مطرح نمیشود.
روش گامبهگام تجزیه با اتحاد مزدوج
برای تجزیه یک عبارت به کمک اتحاد مزدوج، میتوان از سه گام ساده زیر پیروی کرد. این مراحل به شما کمک میکند تا بدون اشتباه، هر عبارت مربعی منفیداری را فاکتورگیری کنید:
- تشخیص ساختار: مطمئن شوید که عبارت به صورت تفاضل (اختلاف) دو مربع باشد. هر دو جمله باید بتوانند به صورت مربع کامل یک عبارت دیگر نوشته شوند.
- یافتن ریشههای مربع: مشخص کنید که جذر[4] جملهی اول و جملهی دوم چیست. فرض کنید این مقادیر $A$ و $B$ هستند.
- نوشتن حاصلضرب: عبارت را به صورت $(A - B)(A + B)$ بازنویسی کنید.
مثال عملی: عبارت $25y^2 - 36$ را تجزیه کنید.
- گام اول: جملهها: $25y^2$ و $36$.
- گام دوم: جذر $25y^2$ برابر $5y$ و جذر $36$ برابر $6$ است.
- گام سوم: $25y^2 - 36 = (5y - 6)(5y + 6)$.
| عبارت اولیه | نوشتن به صورت مربعها | فرم تجزیهشده |
|---|---|---|
| $49x^2 - 81$ | $(7x)^2 - 9^2$ | $(7x-9)(7x+9)$ |
| $4m^2 - 1$ | $(2m)^2 - 1^2$ | $(2m-1)(2m+1)$ |
| $x^4 - 16$ | $(x^2)^2 - 4^2$ | $(x^2-4)(x^2+4)$ و سپس $(x-2)(x+2)(x^2+4)$ |
| $9a^2b^2 - 25$ | $(3ab)^2 - 5^2$ | $(3ab-5)(3ab+5)$ |
کاربرد عملی اتحاد مزدوج در حل معادلات
یکی از مهمترین کاربردهای اتحاد مزدوج، حل معادلات درجه دوم است. وقتی یک معادله به فرم $x^2 - a^2 = 0$ باشد، با تجزیه آن به $(x-a)(x+a)=0$ ، ریشهها یا همان جوابهای معادله به سادگی به دست میآیند.
مثال کاربردی: معادله $y^2 - 81 = 0$ را حل کنید.
$y-9 = 0 \quad \text{یا} \quad y+9 = 0$
$y = 9 \quad \text{یا} \quad y = -9$
این روش حتی در معادلات پیچیدهتر مانند $4z^2 - 49 = 0$ نیز کارآمد است:
$2z-7=0 \Rightarrow z=\frac{7}{2} \quad \text{یا} \quad 2z+7=0 \Rightarrow z=-\frac{7}{2}$
چالشهای مفهومی و پرسشهای متداول
پاسخ: اتحاد مزدوج برای تفاضل (تفریق) مربعات تعریف شده است، نه جمع آنها. اگر بخواهیم $x^2 + 9$ را تجزیه کنیم، به اعداد موهومی نیاز داریم: $x^2 + 9 = x^2 - (-9) = (x - 3i)(x + 3i)$ که در سطح دبیرستان مطرح نمیشود.
پاسخ: خیر. این اتحاد برای هر عبارت جبری که به توان دو رسیده باشد، کاربرد دارد. برای مثال، $(x+y)^2 - 16z^2 = (x+y - 4z)(x+y + 4z)$ .
پاسخ: جذر یک جمله مانند $25x^2y^4$ برابر است با $5xy^2$ . کافی است جذر ضریب عددی و نصف توان هر متغیر را محاسبه کنید.
پاورقیها
1 اتحادهای جبری (Algebraic Identities): روابط ریاضی که به ازای همه مقادیر متغیرها برقرار هستند.
2 عبارت مربعی (Quadratic Expression): عبارتی که بالاترین توان متغیر در آن 2 باشد.
3 تفاضل مربعات (Difference of Squares): همان اتحاد مزدوج است.
4 جذر (Square Root): عددی که اگر در خودش ضرب شود، عدد زیر رادیکال به دست آید.