اتحاد تفاضل دو مکعب: کلید طلایی تجزیه و سادهسازی عبارتهای جبری
ساختار اتحاد: تحلیل اجزای عبارت
اتحاد تفاضل دو مکعب به صورت $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3$ تعریف میشود. این رابطه نشان میدهد که اگر عبارت $(A-B)$ را در $(A^2+AB+B^2)$ ضرب کنیم، نتیجه برابر با تفاضل مکعب $A$ و مکعب $B$ خواهد بود. برعکس، اگر با عبارتی به شکل $A^3-B^3$ مواجه شدیم، میتوانیم آن را به دو عامل $(A-B)$ و $(A^2+AB+B^2)$ تجزیه کنیم.
نکتهٔ کلیدی عبارت $A^2+AB+B^2$ را سه جملهای مربع ناقص مینامند، زیرا شبیه به بسط مربع دو جملهای $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ است، با این تفاوت که جملهٔ میانی آن $2AB$ نیست، بلکه $AB$ میباشد.
$(x-2)(x^2+2x+4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.
حال اگر بخواهیم $27y^3 - 64$ را تجزیه کنیم، ابتدا آن را به صورت $(3y)^3 - 4^3$ مینویسیم. بنابراین $A=3y$ و $B=4$. طبق اتحاد، حاصل تجزیه برابر است با:
$(3y - 4)((3y)^2 + (3y)(4) + 4^2) = (3y - 4)(9y^2 + 12y + 16)$.
کاربرد در سادهسازی عبارات گویا
یکی از مهمترین کاربردهای این اتحاد، سادهسازی کسرهای گویا (تقسیم دو عبارت جبری) است. با تجزیه صورت و مخرج کسر به کمک اتحاد تفاضل دو مکعب، امکان حذف عاملهای مشترک فراهم شده و عبارت سادهتر میشود.
مثال: کسر $\frac{x^3-1}{x^2+x+1}$ را در نظر بگیرید. صورت کسر یک تفاضل مکعب است: $x^3-1^3$. با استفاده از اتحاد، صورت را تجزیه میکنیم:
$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$.
حال کسر را به صورت زیر بازنویسی کرده و ساده میکنیم:
$\frac{x^3-1}{x^2+x+1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1} = x-1$, ($x^2+x+1 \neq 0$).
کاربرد در حل معادلات
اتحاد تفاضل دو مکعب ابزاری مؤثر برای حل معادلات درجهبالا است. با تجزیه یک سمت معادله به عوامل، میتوانیم از قانون «اگر حاصلضرب دو عامل صفر باشد، حداقل یکی از آنها صفر است» استفاده کنیم.
مثال: معادلهٔ $8a^3 - 27 = 0$ را حل کنید.
گام ۱: بازنویسی به شکل تفاضل مکعبها: $(2a)^3 - 3^3 = 0$.
گام ۲: تجزیه با استفاده از اتحاد: $(2a - 3)((2a)^2 + (2a)(3) + 3^2) = (2a - 3)(4a^2 + 6a + 9) = 0$.
گام ۳: قرار دادن هر عامل برابر با صفر:
$2a - 3 = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$.
$4a^2 + 6a + 9 = 0$. برای این معادلهٔ درجهدو، دلتا ($\Delta = b^2 - 4ac$) برابر است با $6^2 - 4 \times 4 \times 9 = 36 - 144 = -108$ که منفی است. بنابراین این بخش ریشهٔ حقیقی ندارد (در مجموعهٔ اعداد حقیقی). در نتیجه، تنها جواب حقیقی معادله، $a = 1.5$ است.
کاربرد عملی: محاسبات سریع ذهنی
گاهی اوقات میتوان از این اتحاد برای انجام محاسبات عددی سریع استفاده کرد. برای مثال، برای محاسبهٔ $29 \times 31$ شاید راه سادهتری هم باشد، اما برای حاصلضرب هایی مانند $(10-2)(100+20+4)$، میتوانیم بلافاصله نتیجه را $10^3 - 2^3 = 1000-8=992$ بنویسیم.
مثال دیگر: فرض کنید بخواهیم حاصلضرب $17 \times 19$ را محاسبه کنیم. این اعداد را میتوان به صورت $(18-1)$ و $(18+1)$ نوشت که حاصلضرب آنها تفاوت مربعها است، نه مکعبها. برای استفاده از اتحاد مکعب، باید به دنبال فرصتهای مناسبتر گشت، مانند محاسبهٔ $12 \times 19$ که مستقیم نیست، اما میتوان با تغییر متغیرها از آن بهره برد.
| نام اتحاد | فرمول کلی | مثال عددی |
|---|---|---|
| تفاضل مکعبها | $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ | $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ |
| جمع مکعبها | $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$ | $y^3+27=(y+3)(y^2-3y+9)$ |
| مربع دو جملهای | $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ | $(m+5)^2 = m^2+10m+25$ |
چالشهای مفهومی و رفع ابهام
پرسش ۱: آیا میتوان از این اتحاد برای جمع مکعبها هم استفاده کرد؟
پاسخ: خیر. اتحاد جمع مکعبها $(A^3 + B^3)$ شکل متفاوتی دارد: $(A+B)(A^2-AB+B^2)$. توجه کنید که علامت جملهٔ میانی در عامل سه جملهای برای جمع مکعبها منفی ($-AB$) و برای تفاضل مکعبها مثبت ($+AB$) است. اشتباه گرفتن این دو علامت یکی از رایجترین خطاهاست.
پرسش ۲: چگونه تشخیص دهیم یک عبارت، تفاضل دو مکعب است؟
پاسخ: یک عبارت به شکل $X^3 - Y^3$ است اگر هر دو جملهی آن مکعب کامل باشند (یعنی بتوان آنها را به صورت توان سوم یک عبارت دیگر نوشت) و با علامت منفی ($-$) از هم جدا شده باشند. برای مثال، $8z^6 - 125$ یک تفاضل مکعب است، زیرا $8z^6 = (2z^2)^3$ و $125 = 5^3$.
پرسش ۳: آیا عبارت $(A-B)^3$ با $A^3-B^3$ برابر است؟
پاسخ: قطعاً خیر. $(A-B)^3$ برابر است با $A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ (اتحاد مکعب دو جملهای). در حالی که $A^3-B^3$ فقط حاوی دو جمله است و با اتحاد تفاضل مکعبها تجزیه میشود. این دو مفهوم کاملاً متفاوت هستند.
