شمارنده: کلید درک تجزیه اعداد و بخشپذیری
تعریف شمارنده و مفاهیم پایهای
- $6 = 1 \times 6$ بنابراین 1 و 6 شمارندههای 6 هستند.
- $6 = 2 \times 3$ بنابراین 2 و 3 نیز شمارندههای 6 هستند.
روشهای یافتن شمارندههای یک عدد
- تقسیم متوالی: در این روش، اعداد از 1 تا $\sqrt{a}$ را بررسی میکنیم تا جفت شمارندهها را پیدا کنیم.
- تجزیه به عوامل اول: این روش مبتنی بر قضیه اساسی حساب است و فرمولی مستقیم برای تعداد و مجموع شمارندهها ارائه میدهد.
روش تجزیه به عوامل اول (فاکتورگیری)
- تعداد شمارندهها ( $\tau(n)$ ) برابر است با: $(k_1 + 1) \times (k_2 + 1) \times ... \times (k_m + 1)$.
- مجموع شمارندهها ( $\sigma(n)$ ) برابر است با: $(1 + p_1 + p_1^2 + ... + p_1^{k_1}) \times ...$.
- تجزیه: $72 = 2^3 \times 3^2$.
- تعداد شمارندهها: $(3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12$ شمارنده.
- مجموع شمارندهها: $(1 + 2 + 2^2 + 2^3) \times (1 + 3 + 3^2) = (1+2+4+8) \times (1+3+9) = 15 \times 13 = 195$.
بزرگترین شمارنده مشترک (ب.م.م) و کوچکترین شمارنده مشترک (ک.م.م)
بزرگترین شمارنده مشترک (ب.م.م)
- فهرست کردن شمارندهها: شمارندههای هر دو عدد را نوشته و بزرگترین شمارنده مشترک را انتخاب میکنیم.
- تجزیه به عوامل اول: اشتراک عوامل اول با کوچکترین توان را در نظر میگیریم. $\gcd(2^3 \times 3^2, 2^2 \times 3^3) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
- الگوریتم اقلیدس2: روشی سریع برای اعداد بزرگ که بر اساس تقسیم متوالی استوار است.
کوچکترین شمارنده مشترک (ک.م.م)
- فهرست کردن مضربها: مضربهای هر دو عدد را تا یافتن کوچکترین مضرب مشترک ادامه میدهیم.
- تجزیه به عوامل اول: اشتراک و افتراق عوامل اول با بزرگترین توان را در نظر میگیریم. $\mathrm{lcm}(2^3 \times 3^2, 2^2 \times 3^3) = 2^3 \times 3^3 = 216$.
- رابطه با ب.م.م:$\mathrm{lcm}(a,b) \times \gcd(a,b) = a \times b$.
| ویژگی | بزرگترین شمارنده مشترک (ب.م.م) | کوچکترین شمارنده مشترک (ک.م.م) |
|---|---|---|
| تعریف | بزرگترین عددی که هر دو عدد بر آن بخشپذیرند. | کوچکترین عدد مثبتی که بر هر دو عدد بخشپذیر است. |
| روش تجزیه | اشتراک عوامل اول با کوچکترین توان | اشتراک و افتراق عوامل اول با بزرگترین توان |
| مثال (12 و 18) | 6 | 36 |
| رابطه کلیدی | $\gcd(a,b) \times \mathrm{lcm}(a,b) = a \times b$ | |
کاربرد عملی شمارندهها در مسئلههای روزمره
- تقسیم اشیا به گروههای مساوی: فرض کنید 24 عدد سیب و 36 عدد پرتقال داریم و میخواهیم آنها را به بیشترین تعداد کیسههای مساوی (از نظر محتوا) تقسیم کنیم، به طوری که در هر کیسه تعداد سیبها و پرتقالها یکسان باشد. تعداد کیسهها برابر است با $\gcd(24,36)=12$. در هر کیسه 2 سیب و 3 پرتقال قرار میگیرد.
- تنظیم برنامه کاری: اگر یک فروشنده هر 6 روز یک بار و فروشنده دیگر هر 8 روز یک بار به یک فروشگاه بیایند، پس از چند روز هر دو با هم در فروشگاه حضور خواهند داشت؟ پاسخ برابر $\mathrm{lcm}(6,8)=24$ روز است.
- طراحی الگوهای کاشیکاری: برای کاشیکاری یک دیوار به ابعاد 140 سانتیمتر در 210 سانتیمتر با کاشیهای مربعی شکل به بزرگترین اندازه ممکن، طول ضلع کاشی برابر $\gcd(140,210)=70$ سانتیمتر خواهد بود.
چالشهای مفهومی
آیا عدد 0 میتواند شمارنده یک عدد باشد؟
خیر. طبق تعریف، شمارنده باید عددی غیرصفر باشد (b ≠ 0)، زیرا تقسیم بر صفر تعریفنشده است. اما 0 خودش بر هر عدد غیرصفر دیگری بخشپذیر است (چون $0 = b \times 0$)، بنابراین هر عدد غیرصفر یک شمارنده از 0 محسوب میشود.
تفاوت شمارنده اول و عامل اول یک عدد چیست؟
هر عامل اول یک عدد، یک شمارنده اول از آن عدد است. اما یک شمارنده اول میتواند خود عدد باشد در صورتی که عدد اول باشد. به عنوان مثال، برای عدد 12، شمارندههای اول آن 2 و 3 هستند که همان عوامل اول آن نیز هستند. برای عدد 7 (که خود اول است)، شمارندههای اول آن 1 (که اول نیست) و 7 هستند. در اینجا 7 هم شمارنده اول است و هم عامل اول.
چرا در فرمول تعداد شمارندهها، به هر توان یک واحد اضافه میکنیم؟
زیرا برای هر عامل اول مانند $p^k$، میتوانیم توانی از p را از صفر تا k انتخاب کنیم ($p^0, p^1, ..., p^k$) تا در ترکیب با انتخابهای دیگر، یک شمارنده منحصربهفرد بسازیم. به همین دلیل تعداد حالتهای انتخاب برای این عامل، k+1 است. حاصلضرب این تعداد حالتها برای همه عوامل، تعداد کل شمارندهها را میدهد.
پاورقیها
1 Divisor: عددی که عدد مورد نظر بر آن تقسیم میشود و باقیمانده صفر میماند. در فارسی به آن مقسومعلیه نیز میگویند.
2 Euclidean Algorithm: روشی برای یافتن بزرگترین شمارنده مشترک دو عدد از طریق تقسیم متوالی. این الگوریتم یکی از قدیمیترین الگوریتمهای شناخته شده است.
3 Least Common Multiple (LCM): کوچکترین عدد مثبتی که مضرب هر دو عدد باشد. در متون فارسی گاهی به آن «ک.م.م» (کوچکترین مضرب مشترک) میگویند.
