قانون توان حاصلضرب: پلی به دنیای توانهای گویا
چرا $ (ab)^r = a^r b^r $ برای اعداد مثبت همواره برقرار است؟
برای درک این قانون، ابتدا باید بدانیم عدد گویا$ ^2 $ چیست. هر عدد گویا را میتوان به صورت کسر $ \frac{m}{n} $ نوشت که $ m $ و $ n $ اعداد صحیح و $ n \gt 0 $ هستند. توان گویا $ a^{m/n} $ در حقیقت ریشه $ n $-ام $ a^m $ است: $ a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} $. حال اگر $ a $ و $ b $ هر دو مثبت باشند، میتوانیم قانون را گامبهگام اثبات کنیم:
فرض کنید $ r = \frac{m}{n} $. آنگاه:
$ (ab)^r = (ab)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(ab)^m} $
با استفاده از قانون توان برای توانهای صحیح (که قبلاً میدانیم برقرار است)، داریم $ (ab)^m = a^m b^m $. بنابراین:
$ \sqrt[n]{a^m b^m} $
حال از خاصیت رادیکالها (که خود از قانون توان ناشی میشود) میدانیم که $ \sqrt[n]{a^m b^m} = \sqrt[n]{a^m} \times \sqrt[n]{b^m} $. و در نهایت:
$ \sqrt[n]{a^m} \times \sqrt[n]{b^m} = a^{\frac{m}{n}} b^{\frac{m}{n}} = a^r b^r $
شرط مثبت بودن $ a $ و $ b $ برای اطمینان از یکتایی ریشههای زوج و جلوگیری از ورود به اعداد مختلط$ ^3 $ ضروری است.
از نظریه تا عمل: چند مثال عددی روشنگر
برای روشن شدن موضوع، بیایید چند مثال عینی را با هم بررسی کنیم. مشاهده میکنید که چگونه قانون توان حاصلضرب، مسیر محاسبه را کوتاهتر و سادهتر میکند.
| مثال | روش مستقیم (بدون قانون) | روش با استفاده از قانون $ (ab)^r = a^r b^r $ |
|---|---|---|
| $ (4 \times 9)^{\frac{1}{2}} $ | $ (36)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6 $ | $ 4^{\frac{1}{2}} \times 9^{\frac{1}{2}} = 2 \times 3 = 6 $ |
| $ (8 \times 27)^{\frac{2}{3}} $ | $ (216)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{216})^2 = 6^2 = 36 $ | $ 8^{\frac{2}{3}} \times 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 \times (\sqrt[3]{27})^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 $ |
| $ (16 \times 81)^{\frac{1}{4}} $ | $ (1296)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1296} = 6 $ | $ 16^{\frac{1}{4}} \times 81^{\frac{1}{4}} = 2 \times 3 = 6 $ |
همانطور که میبینید، در هر دو روش به نتیجه یکسانی میرسیم، اما روش دوم (استفاده از قانون) اغلب اعداد کوچکتر و آشناتری را برای محاسبه در اختیار ما میگذارد.
کاربرد قانون در سادهسازی عبارات پیچیده
این قانون تنها محدود به اعداد ساده نیست. در عبارات جبری که شامل متغیرها هستند، این قانون ابزاری قدرتمند برای سادهسازی به شمار میرود. فرض کنید میخواهیم عبارت $ \sqrt[3]{8x^6y^9} $ را ساده کنیم. با نوشتن رادیکال به صورت توان گویا و اعمال قانون داریم:
$ (8x^6y^9)^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} \times (x^6)^{\frac{1}{3}} \times (y^9)^{\frac{1}{3}} $
حال با استفاده از قانون توان برای توانها $ (a^m)^n = a^{mn} $، به سادگی به پاسخ میرسیم:
$ = 2 \times x^{6 \times \frac{1}{3}} \times y^{9 \times \frac{1}{3}} = 2x^2y^3 $
این روش، به ویژه در حل معادلات و مسائل بهینهسازی، بسیار کارآمد است.
چالشهای مفهومی: پرسش و پاسخ
❓ چرا شرط $ a, b \gt 0 $ برای توانهای گویا با مزدوج زوج ضروری است؟
فرض کنید $ a = -2 $، $ b = -8 $ و $ r = \frac{1}{2} $. طبق قانون باید داشته باشیم $ ((-2) \times (-8))^{1/2} = (16)^{1/2} = 4 $. اما سمت راست معادله $ (-2)^{1/2} \times (-8)^{1/2} $ است که هر کدام در مجموعه اعداد حقیقی تعریفنشده هستند (ریشه دوم یک عدد منفی). برای جلوگیری از این ابهام و تعریفنشدگی، اعداد مثبت در نظر گرفته میشوند.
❓ آیا میتوان قانون را به صورت معکوس، یعنی $ a^r b^r = (ab)^r $ نیز به کار برد؟
بله، دقیقاً. این قانون یک رابطه دوطرفه است. اگر در مسئلهای با عبارت $ 2^{1/3} \times 4^{1/3} $ مواجه شدیم، میتوانیم آن را به $ (2 \times 4)^{1/3} = 8^{1/3} = 2 $ تبدیل کنیم. این برگردان نیز در سادهسازی بسیار مفید است.
❓ آیا این قانون برای جمع یا تفریق نیز مشابه دارد؟ یعنی $ (a+b)^r = a^r + b^r $؟
خیر! این یک اشتباه رایج است. توانگیری بر روی جمع خاصیت پخشی$ ^4 $ ندارد. برای اثبات، یک مثال نقض ساده کافیست: $ (1+4)^{1/2} = \sqrt{5} \approx 2.236 $، در حالی که $ 1^{1/2} + 4^{1/2} = 1 + 2 = 3 $ است. این دو مقدار با هم برابر نیستند.
پاورقیها
1جبری: (Algebraic) شاخهای از ریاضیات که به مطالعهٔ ساختارها، روابط و کمیتها با استفاده از حروف و نمادها میپردازد.
2عدد گویا: (Rational Number) عددی که میتواند به صورت کسر $ \frac{p}{q} $ نوشته شود، که در آن $ p $ و $ q $ اعداد صحیح بوده و $ q \neq 0 $ است.
3اعداد مختلط: (Complex Numbers) اعدادی به شکل $ a + bi $ که در آن $ i = \sqrt{-1} $ واحد موهومی است. ریشههای زوج اعداد منفی در این مجموعه تعریف میشوند.
4خاصیت پخشی: (Distributive Property) خاصیتی در جبر که بیان میکند $ a(b+c) = ab + ac $. توانگیری بر روی جمع از این خاصیت پیروی نمیکند.
