قانون جمع توان‌های گویا: برای r و s گویا و a>0، a^(r+s)=a^r × a^s

قانون جمع توان‌های گویا: پیوند ضرب و توان در اعداد مثبت

۱. مفهوم پایه‌ای: از توان‌های طبیعی تا توان‌های گویا

در آغاز، قانون جمع توان‌ها را برای توان‌های طبیعی (اعداد صحیح مثبت) به خاطر می‌آوریم. اگر m و n دو عدد طبیعی باشند، می‌دانیم که $a^{m+n} = a^m \times a^n$. دلیل این امربسیار واضح است: $a^m$ یعنی a را m بار در خود ضرب کنیم و $a^n$ یعنی a را n بار. حاصل‌ضرب این دو، a را m+n بار در خود ضرب کرده است.

حال می‌خواهیم این قانون را به اعداد گویا¹ تعمیم دهیم. اعداد گویا اعدادی هستند که می‌توان آن‌ها را به صورت کسر $\frac{p}{q}$ نوشت که در آن p و q اعداد صحیح بوده و q \neq 0$. توان گویا مانند $a^{\frac{m}{n}}$ به معنای ریشه n-ام a به توان m است: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. شرط $a>0$ تضمین می‌کند که ریشه‌گیری برای همه اعداد گویا تعریف شده باشد.

به عنوان مثال، $4^{\frac{1}{2}}$ برابر است با $\sqrt{4} = 2$ و $8^{\frac{2}{3}}$ برابر است با $(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

۲. اثبات قانون برای اعداد گویا (با استفاده از خواص رادیکال‌ها)

برای اثبات $a^{r+s} = a^r \times a^s$، فرض کنید $r = \frac{m}{n}$ و $s = \frac{p}{q}$ دو عدد گویا با مخرج‌های مثبت n و q باشند. هدف ما این است که نشان دهیم:

$a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n}} \times a^{\frac{p}{q}}$

برای جمع این دو کسر، مخرج مشترک می‌گیریم. مخرج مشترک $nq$ است. بنابراین:

$\frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + np}{nq}$

سمت چپ معادله اصلی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$a^{\frac{mq + np}{nq}} = \sqrt[nq]{a^{mq + np}}$

حال به سراغ سمت راست می‌رویم. با استفاده از تعریف توان گویا:

$a^{\frac{m}{n}} \times a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[n]{a^m} \times \sqrt[q]{a^p}$

برای ضرب دو رادیکال با فرجه‌های متفاوت، آن‌ها را با فرجه مشترک $nq$ می‌نویسیم:

$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nq]{a^{mq}}$ و $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[nq]{a^{np}}$

اکنون حاصل‌ضرب این دو عبارت است:

$\sqrt[nq]{a^{mq}} \times \sqrt[nq]{a^{np}} = \sqrt[nq]{a^{mq} \times a^{np}}$

با استفاده از قانون ضرب توان‌ها برای اعداد صحیح (چون mq و np اعداد صحیح هستند):

$a^{mq} \times a^{np} = a^{mq + np}$

بنابراین، سمت راست معادله به $\sqrt[nq]{a^{mq+np}}$ تبدیل می‌شود که دقیقاً با سمت چپ معادله برابری می‌کند. به این ترتیب، قانون جمع توان‌های گویا اثبات می‌شود.

۳. کاربرد عملی: ساده‌سازی عبارت‌ها و حل معادلات

این قانون در بسیاری از مسائل ریاضی و علوم کاربردی دارد. در ادامه چند مثال عینی از کاربرد آن را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱ (ساده‌سازی) عبارت $7^{\frac{2}{3}} \times 7^{\frac{1}{2}}$ را ساده کنید.

طبق قانون جمع توان‌ها، داریم:

$7^{\frac{2}{3}} \times 7^{\frac{1}{2}} = 7^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = 7^{\frac{7}{6}}$

بنابراین پاسخ به صورت $7^{\frac{7}{6}}$ یا $\sqrt[6]{7^7}$ قابل بیان است.

مثال ۲ (حل معادله) معادله $2^{x} \times 2^{\frac{1}{3}} = 8$ را برای x حل کنید.

ابتدا سمت چپ را ساده می‌کنیم:

$2^{x + \frac{1}{3}} = 8$

می‌دانیم $8 = 2^3$. بنابراین:

$2^{x + \frac{1}{3}} = 2^3$

از آنجا که پایه‌ها برابر و بزرگتر از یک هستند، توان‌ها با هم برابرند:

$x + \frac{1}{3} = 3 \Rightarrow x = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

مثال ۳ (مسئله علمی) در فیزیک، نیمه‌عمر یک ماده رادیواکتیو‌ با فرمول $N(t) = N_0 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$ توصیف می‌شود. اگر مقدار مادۀ اولیه $N_0$ باشد، مقدار ماده پس از زمان $t_1 + t_2$ چقدر است؟

طبق قانون جمع توان‌ها:

$N(t_1+t_2) = N_0 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t_1+t_2}{T}} = N_0 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t_1}{T}} \times (\frac{1}{2})^{\frac{t_2}{T}}$

که این یعنی $N(t_1+t_2) = \frac{N(t_1) \times N(t_2)}{N_0}$. این رابطه نشان می‌دهد که واپاشی در بازه‌های زمانی متوالی مستقل از یکدیگر عمل می‌کنند.

۴. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)

۵. مقایسه رفتار قانون در شرایط مختلف

پاورقی‌ها