بامعنی بودن رادیکال: شرط تعریفپذیری ریشه در اعداد حقیقی
۱. ریشههای زوج و فرد: قانون نامنفی بودن
ریشهگیری در اعداد حقیقی عملی است معکوس توانرسانی. برای یک عدد حقیقی مانند $x$ و یک عدد طبیعی مانند $n$ (فرجه)، ریشه $n$-ام به صورت $\sqrt[n]{x}$ نمایش داده میشود. اولین و مهمترین نکته برای معنادار بودن این عبارت، توجه به زوج یا فرد بودن $n$ است.
علت این تفاوت به سادگی قابل درک است: هر عدد حقیقی (مثبت، منفی یا صفر) وقتی به توان فرد برسد، علامت خود را حفظ میکند. بنابراین برای یک عدد منفی مانند $-8$، یک عدد حقیقی مانند $-2$ وجود دارد که $(-2)^3 = -8$ است. پس $\sqrt[3]{-8} = -2$ کاملاً معنادار است. اما در مقابل، مربع (توان دوم) هر عدد حقیقی، همواره نا منفی است. هیچ عدد حقیقیای وجود ندارد که مربع آن منفی باشد. به همین دلیل، عباراتی مانند $\sqrt{-4}$ یا $\sqrt[4]{-16}$ در مجموعه اعداد حقیقی تعریفنشده و بیمعنا هستند. این اعداد به قلمرو اعداد مختلط[2] تعلق دارند.
| نوع ریشه (فرجه) | شرط زیررادیکال ($x$) | مثال معنادار | مثال بیمعنا |
|---|---|---|---|
| فرد ($3,5,7$) | همه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) | $\sqrt[5]{32}=2$، $\sqrt[3]{-27}=-3$ | ندارد |
| زوج ($2,4,6$) | فقط اعداد نامنفی ($x \ge 0$) | $\sqrt{9}=3$، $\sqrt[4]{16}=2$ | $\sqrt{-1}$، $\sqrt[6]{-64}$ |
۲. مخرج کسر: وقتی رادیکال در مخرج مینشیند
دومین مانع بزرگ در مسیر تعریفپذیری عبارات رادیکالی، حضور آنها در مخرج یک کسر است. در ریاضیات، اصلی بدیهی و غیرقابلتغییر داریم: مخرج کسر هرگز نباید صفر باشد. این قانون مستقل از این است که مخرج یک عدد ساده باشد یا یک عبارت رادیکالی پیچیده. بنابراین اگر رادیکالی در مخرج ظاهر شود، علاوه بر شرط نامنفی بودن (برای فرجههای زوج)، باید این اطمینان حاصل شود که مقدار آن رادیکال صفر نیست.
برای روشن شدن موضوع، عبارت $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ را در نظر بگیرید. این عبارت دو قید را به طور همزمان شامل میشود:
- زیررادیکال (چون فرجه $2$ زوج است) باید نامنفی باشد: $x-2 \ge 0$ یا $x \ge 2$.
- مخرج کسر باید ناصفر باشد: $\sqrt{x-2} \neq 0$. از آنجایی که $\sqrt{x-2}=0$ تنها وقتی رخ میدهد که $x-2=0$ یا $x=2$ باشد، پس $x \neq 2$ را نیز باید رعایت کنیم.
با ترکیب این دو شرط، دامنه تعریف عبارت $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ مجموعه $x \gt 2$ خواهد بود. نقطه $x=2$ اگرچه شرط نامنفی بودن را برآورده میکند، اما به دلیل صفر کردن مخرج، از دامنه خارج میشود.
۳. کاربرد عملی: یافتن دامنه توابع رادیکالی
یکی از مهمترین کاربردهای قواعد بالا در ریاضیات دبیرستان، تعیین دامنه توابع است. برای یافتن دامنه یک تابع، باید همه مقادیری از متغیر را بیابیم که تابع برای آنها خروجی حقیقی و معنادار داشته باشد. در توابع شامل رادیکال، این کار به یک روال منظم تبدیل میشود.
فرض کنید تابع $f(x) = \frac{\sqrt{5-x}}{x-3}$ را داریم. قدمبهقدم پیش میرویم:
گام دوم: مخرج کسر ($x-3$) باید ناصفر باشد. پس $x \neq 3$.
گام سوم: اشتراک دو شرط بالا، دامنه تابع را میسازد: همه اعداد کوچکتر یا مساوی $5$ به جز $3$. به عبارت دیگر: $(-\infty, 3) \cup (3, 5]$.
این مثال نشان میدهد که چگونه هر دو شرط «نامنفی بودن» (برای فرجه زوج) و «ناصفر بودن مخرج» دست به دست هم میدهند تا دامنه یک تابع را مشخص کنند.
۴. چالشهای مفهومی
پاورقی
1فرجه (Index): به عددی که درونه رادیکال ($\sqrt[n]{a}$) بالای علامت رادیکال نوشته میشود و درجه ریشه را مشخص میکند، فرجه میگویند.
2اعداد مختلط (Complex Numbers): مجموعهای از اعداد به شکل $a+bi$ که در آن $a$ و $b$ اعداد حقیقی و $i$ یک واحد موهومی با خاصیت $i^2 = -1$ است. در این مجموعه، ریشههای زوج اعداد منفی نیز تعریف میشوند.
