بامعنی بودن رادیکال: تعریف‌پذیر بودن ریشه در اعداد حقیقی که به صفر نبودن مخرج و نامنفی بودن زیر ریشه‌های زوج وابسته است

بروزرسانی شده در: 14:10 1404/12/2 مشاهده: 10 دسته بندی: کپسول آموزشی

بامعنی بودن رادیکال: شرط تعریف‌پذیری ریشه در اعداد حقیقی

بررسی وابستگی ریشه‌های زوج به نامنفی بودن زیررادیکال و نقش حیاتی مخرج کسر در تعریف‌پذیری

در دنیای اعداد حقیقی، هر عبارت جبری لزوماً معنا (تعریف‌پذیر) نیست. رادیکال‌ها یا همان ریشه‌ها، یکی از اصلی‌ترین مواردی هستند که تعریف‌پذیری آن‌ها به دو شرط اساسی وابسته است: اول، اگر فرجه^[1] ریشه زوج باشد، عبارت زیر رادیکال (زیررادیکال) باید نا منفی باشد. دوم، اگر رادیکال در مخرج کسری ظاهر شود، آن رادیکال باید حتماً ناصفر باشد. در این مقاله با زبانی ساده و مثال‌های گوناگون، به بررسی این دو شرط بنیادین می‌پردازیم.

۱. ریشه‌های زوج و فرد: قانون نامنفی بودن

ریشه‌گیری در اعداد حقیقی عملی است معکوس توان‌رسانی. برای یک عدد حقیقی مانند $x$ و یک عدد طبیعی مانند $n$ (فرجه)، ریشه $n$-ام به صورت $\sqrt[n]{x}$ نمایش داده می‌شود. اولین و مهم‌ترین نکته برای معنادار بودن این عبارت، توجه به زوج یا فرد بودن $n$ است.

? قانون طلایی: اگر $n$ فرد باشد، $\sqrt[n]{x}$ برای همه اعداد حقیقی $x$ تعریف‌پذیر است. اگر $n$ زوج باشد، $\sqrt[n]{x}$ تنها وقتی معنا دارد که $x \ge 0$ (نامنفی) باشد.

علت این تفاوت به سادگی قابل درک است: هر عدد حقیقی (مثبت، منفی یا صفر) وقتی به توان فرد برسد، علامت خود را حفظ می‌کند. بنابراین برای یک عدد منفی مانند $-8$، یک عدد حقیقی مانند $-2$ وجود دارد که $(-2)^3 = -8$ است. پس $\sqrt[3]{-8} = -2$ کاملاً معنادار است. اما در مقابل، مربع (توان دوم) هر عدد حقیقی، همواره نا منفی است. هیچ عدد حقیقی‌ای وجود ندارد که مربع آن منفی باشد. به همین دلیل، عباراتی مانند $\sqrt{-4}$ یا $\sqrt[4]{-16}$ در مجموعه اعداد حقیقی تعریف‌نشده و بی‌معنا هستند. این اعداد به قلمرو اعداد مختلط^[2] تعلق دارند.

نوع ریشه (فرجه)	شرط زیررادیکال ($x$)	مثال معنا‌دار	مثال بی‌معنا
فرد ($3,5,7$)	همه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$)	$\sqrt[5]{32}=2$، $\sqrt[3]{-27}=-3$	ندارد
زوج ($2,4,6$)	فقط اعداد نامنفی ($x \ge 0$)	$\sqrt{9}=3$، $\sqrt[4]{16}=2$	$\sqrt{-1}$، $\sqrt[6]{-64}$

۲. مخرج کسر: وقتی رادیکال در مخرج می‌نشیند

دومین مانع بزرگ در مسیر تعریف‌پذیری عبارات رادیکالی، حضور آن‌ها در مخرج یک کسر است. در ریاضیات، اصلی بدیهی و غیرقابل‌تغییر داریم: مخرج کسر هرگز نباید صفر باشد. این قانون مستقل از این است که مخرج یک عدد ساده باشد یا یک عبارت رادیکالی پیچیده. بنابراین اگر رادیکالی در مخرج ظاهر شود، علاوه بر شرط نامنفی بودن (برای فرجه‌های زوج)، باید این اطمینان حاصل شود که مقدار آن رادیکال صفر نیست.

برای روشن شدن موضوع، عبارت $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ را در نظر بگیرید. این عبارت دو قید را به طور همزمان شامل می‌شود:

زیررادیکال (چون فرجه $2$ زوج است) باید نامنفی باشد: $x-2 \ge 0$ یا $x \ge 2$.
مخرج کسر باید ناصفر باشد: $\sqrt{x-2} \neq 0$. از آنجایی که $\sqrt{x-2}=0$ تنها وقتی رخ می‌دهد که $x-2=0$ یا $x=2$ باشد، پس $x \neq 2$ را نیز باید رعایت کنیم.

با ترکیب این دو شرط، دامنه تعریف عبارت $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ مجموعه $x \gt 2$ خواهد بود. نقطه $x=2$ اگرچه شرط نامنفی بودن را برآورده می‌کند، اما به دلیل صفر کردن مخرج، از دامنه خارج می‌شود.

۳. کاربرد عملی: یافتن دامنه توابع رادیکالی

یکی از مهم‌ترین کاربردهای قواعد بالا در ریاضیات دبیرستان، تعیین دامنه توابع است. برای یافتن دامنه یک تابع، باید همه مقادیری از متغیر را بیابیم که تابع برای آن‌ها خروجی حقیقی و معنا‌دار داشته باشد. در توابع شامل رادیکال، این کار به یک روال منظم تبدیل می‌شود.

فرض کنید تابع $f(x) = \frac{\sqrt{5-x}}{x-3}$ را داریم. قدم‌به‌قدم پیش می‌رویم:

گام اول: صورت شامل یک ریشه زوج ($\sqrt{5-x}$) است. بنابراین باید $5-x \ge 0$ باشد که نتیجه می‌دهد $x \le 5$.
گام دوم: مخرج کسر ($x-3$) باید ناصفر باشد. پس $x \neq 3$.
گام سوم: اشتراک دو شرط بالا، دامنه تابع را می‌سازد: همه اعداد کوچکتر یا مساوی $5$ به جز $3$. به عبارت دیگر: $(-\infty, 3) \cup (3, 5]$.

این مثال نشان می‌دهد که چگونه هر دو شرط «نامنفی بودن» (برای فرجه زوج) و «ناصفر بودن مخرج» دست به دست هم می‌دهند تا دامنه یک تابع را مشخص کنند.

۴. چالش‌های مفهومی

❓ چالش اول: آیا عبارت $\sqrt[4]{x^2}$ برای همه اعداد حقیقی $x$ تعریف‌پذیر است؟

پاسخ: بله. اگرچه فرجه $4$ زوج است، اما زیررادیکال $x^2$ همواره نا منفی (بزرگتر یا مساوی صفر) است. بنابراین شرط لازم برای تعریف‌پذیری ریشه زوج، برآورده می‌شود.

❓ چالش دوم: دامنه تابع $g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}$ چیست؟

پاسخ: فرجه ریشه $3$ است که فرد است. بنابراین زیررادیکال ($x-1$) می‌تواند هر عدد حقیقی باشد. تنها مانع، ناصفر بودن مخرج است: $\sqrt[3]{x-1} \neq 0$. این ریشه زمانی صفر می‌شود که $x-1 = 0$ یا $x=1$. بنابراین دامنه همه اعداد حقیقی به جز $x=1$ است: $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

❓ چالش سوم: برای چه مقادیری از $k$، عبارت $\sqrt{\frac{1}{k-2}}$ در اعداد حقیقی معنا دارد؟

پاسخ: دو شرط داریم: اول، به دلیل فرجه زوج، کل زیررادیکال باید نامنفی باشد: $\frac{1}{k-2} \ge 0$. دوم، مخرج کسر داخل رادیکال نباید صفر باشد: $k-2 \neq 0$. از آنجا که صورت کسر ($1$) مثبت است، شرط نامنفی بودن کسر به $k-2 \gt 0$ تبدیل می‌شود. این شرط، شرط ناصفر بودن مخرج را هم در بر می‌گیرد. در نتیجه، دامنه مقادیر مجاز $k \gt 2$ است.

درک مفهوم «بامعنی بودن» رادیکال‌ها، فراتر از یک قانون خشک و خالی است. این قوانین، مرزهای دنیای اعداد حقیقی را مشخص می‌کنند و به ما می‌گویند که در کجا جستجوی پاسخ متوقف می‌شود و باید به قلمرو جدیدی (اعداد مختلط) قدم بگذاریم. به خاطر داشته باشید: برای ریشه‌های زوج، ندای $x \ge 0$ و برای تمام رادیکال‌های واقع در مخرج، هشدار $\sqrt[n]{x} \neq 0$، کلیدهای اصلی حل معمای دامنه توابع و تعریف‌پذیری عبارات هستند.

پاورقی

¹فرجه (Index): به عددی که درونه رادیکال ($\sqrt[n]{a}$) بالای علامت رادیکال نوشته می‌شود و درجه ریشه را مشخص می‌کند، فرجه می‌گویند.

²اعداد مختلط (Complex Numbers): مجموعه‌ای از اعداد به شکل $a+bi$ که در آن $a$ و $b$ اعداد حقیقی و $i$ یک واحد موهومی با خاصیت $i^2 = -1$ است. در این مجموعه، ریشه‌های زوج اعداد منفی نیز تعریف می‌شوند.