قانون توانِ توان: سفری به دنیای توانهای گویا
۱. تعریف و مبانی توانهای گویا
پیش از پرداختن به قانون توانِ توان، لازم است مفهوم توان گویا[2] را بهخوبی درک کنیم. به طور کلی، اگر a یک عدد حقیقی مثبت باشد و m/n یک عدد گویا (با n > ۰) باشد، آنگاه:
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$این تعریف نشان میدهد که چگونه توانهای کسری به ریشهها[3] مرتبط میشوند. شرط a > ۰ به این دلیل است که ریشههای زوج از اعداد منفی در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشدهاند. به عنوان مثال:
- $8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4$ یا $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
- $4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = 2^3 = 8$
- $27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}$ (توان منفی به معنای معکوس است)
۲. اثبات و درک شهودی قانون توانِ توان
قانون توانِ توان میگوید که اگر a > ۰ و r و s دو عدد گویا باشند، آنگاه:
$$(a^r)^s = a^{r \times s}$$برای درک بهتر، این قانون را در سه حالت مختلف بررسی میکنیم:
| حالت r و s | استدلال | مثال |
|---|---|---|
| توانهای طبیعی (r, s اعداد طبیعی) | بر اساس تعریف تکرار ضرب: $(a^r)^s = (a \times a \times ...)_{r\text{ بار}}$ به توان s یعنی r عامل a را s بار تکرار میکنیم که جمعاً r×s عامل a داریم. | $(2^3)^2 = 8^2 = 64$ و $2^{3\times2}=2^6=64$ |
| توانهای کسری مثبت | با استفاده از تعریف توان کسری و ریشهها میتوان به رابطه رسید: $(a^{\frac{p}{q}})^{\frac{r}{s}} = (\sqrt[q]{a^p})^{\frac{r}{s}}$. | $(4^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}} = (2)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}$ و $4^{\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}}=4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}$ |
| توانهای منفی | با استفاده از قانون $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ و اعمال قانون برای توانهای مثبت، میتوان نتیجه را تعمیم داد. | $(9^{-\frac{1}{2}})^{-3} = (\frac{1}{3})^{-3} = 27$ و $9^{(-\frac{1}{2})\times(-3)} = 9^{\frac{3}{2}} = 27$ |
۳. کاربرد عملی: سادهسازی عبارتهای جبری
یکی از مهمترین کاربردهای قانون توانِ توان، سادهسازی عبارتهای پیچیده جبری، بهویژه در مسائل نمایی و لگاریتمی است. فرض کنید میخواهیم عبارت زیر را ساده کنیم:
$$\left( x^{\frac{3}{4}} \right)^{\frac{8}{9}} \times \left( y^{-\frac{2}{3}} \right)^{-\frac{3}{4}}$$با اعمال قانون توانِ توان، بهسادگی داریم:
$$= x^{\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}} \times y^{-\frac{2}{3} \times -\frac{3}{4}} = x^{\frac{24}{36}} \times y^{\frac{6}{12}} = x^{\frac{2}{3}} \times y^{\frac{1}{2}}$$مثال دنیای واقعی: در فیزیک، رابطه دوره تناوب یک آونگ ساده T به طول آن L و شتاب گرانش g به صورت $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ است. این رابطه را میتوان به صورت $T = 2\pi (L^{\frac{1}{2}})(g^{-\frac{1}{2}})$ نوشت. حال اگر بخواهیم دوره تناوب را بر حسب متغیر دیگری مثلاً L' = L^2 پیدا کنیم، با استفاده از قانون توانِ توان میتوانیم به راحتی رابطه جدید را بیابیم.
۴. چالشهای مفهومی و رفع ابهامات
۱) آیا قانون $(a^r)^s = a^{rs}$ برای a منفی همیشه برقرار است؟
خیر. اگر a منفی باشد و توانها کسری با مخرج زوج باشند، عبارت $a^{rs}$ ممکن است در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشود. به همین دلیل است که شرط a>۰ برای استفاده از این قانون به شکل استاندارد الزامی است. برای مثال، $((-1)^2)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1$، اما اگر مستقیماً از قانون استفاده کنیم: $(-1)^{2 \times \frac{1}{2}} = (-1)^1 = -1$ که نادرست است.
۲) ترتیب انجام عملیات در $a^{r^s}$ با $(a^r)^s$ چه تفاوتی دارد؟
$a^{r^s}$ معمولاً به معنای $a^{(r^s)}$ است (یعنی ابتدا r به توان s میرسد، سپس a به توان آن نتیجه میرسد)، در حالی که $(a^r)^s$ ابتدا a را به توان r رسانده و سپس حاصل را به توان s میرساند. این دو با هم برابر نیستند. مثال: $2^{3^2}=2^9=512$ در حالی که $(2^3)^2 = 8^2=64$.
۳) اگر r و s اعداد گویا باشند ولی حاصلضرب آنها گویا نباشد (مثلاً شامل رادیکالها) چه؟
وقتی میگوییم r و s گویا هستند، حاصلضرب آنها نیز همیشه یک عدد گویا خواهد بود. زیرا مجموعه اعداد گویا تحت عمل ضرب بسته است. اگر r و s گویا نباشند (مثلاً $\sqrt{2}$)، این قانون همچنان برای پایههای مثبت معتبر است، اما اثبات آن به تعریف توان با نماهای حقیقی و توابع نمایی نیاز دارد که در سطوح بالاتر بررسی میشود.
پاورقیها
[1]توانِ توان (Power of a Power Rule): قانونی در جبر که میگوید برای سادهسازی عبارتی که در آن یک عبارت تواندار دوباره به توان میرسد، توانها را در هم ضرب میکنیم.
[2]توان گویا (Rational Exponent): توانی که به صورت کسر m/n نمایش داده میشود، که در آن m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است. این مفهوم، عملیات توانرسانی و ریشهگیری را پیوند میدهد.
[3]ریشه (Root): عمل معکوس توانرسانی. برای مثال، ریشه دوم عدد a عددی است که اگر در خودش ضرب شود، a به دست آید. ریشه n-ام یک عدد با نماد $\sqrt[n]{a}$ نشان داده میشود.
