قانون ضرب با توان‌های مساوی: وقتی پایه‌ها متفاوت اما توان‌ها یکی هستند
توان چیست و چگونه کار می‌کند؟
قبل از پرداختن به قانون اصلی، باید با مفهوم توان آشنا شویم. توان یک روش کوتاه‌نویسی برای نشان دادن ضرب متوالی یک عدد در خودش است. برای مثال، اگر ۴ عدد ۲ را در هم ضرب کنیم، می‌نویسیم: $ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 $. در اینجا، عدد ۲ پایه۲ و عدد ۴ توان۱ نامیده می‌شود.
یک مثال از زندگی: فرض کنید یک باکس مکعبی شکل دارید که طول، عرض و ارتفاع آن هر کدام ۲ سانتی‌متر است. حجم این مکعب می‌شود $ 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8 $ سانتی‌متر مکعب. اینجا ۳ توان است که نشان می‌دهد عدد ۲ چند بار در خودش ضرب شده است.
شناخت حالت‌های مختلف ضرب اعداد تواندار
وقتی می‌خواهیم دو عدد تواندار را در هم ضرب کنیم، چند حالت مختلف پیش می‌آید. درک این حالت‌ها به ما کمک می‌کند قانون اصلی مقاله را بهتر بفهمیم.
| حالت | شرح و مثال | قانون حاکم |
|---|---|---|
| پایه‌ها مساوی، توان‌ها متفاوت | $ 2^3 \times 2^4 $ | پایه ثابت می‌ماند و توان‌ها با هم جمع می‌شوند: $ 2^{3+4} = 2^7 $ |
| پایه‌ها متفاوت، توان‌ها مساوی | $ 2^3 \times 5^3 $ (موضوع این مقاله) | توان ثابت می‌ماند و پایه‌ها در هم ضرب می‌شوند:$ (2 \times 5)^3 = 10^3 $ |
| پایه و توان هر دو متفاوت | $ 2^3 \times 3^4 $ | هیچ قانون ساده‌ای ندارد؛ هر توان باید جداگانه محاسبه و سپس ضرب شود. |
کشف قانون: ضرب وقتی توان‌ها مساوی هستند
حالا به سراغ قانون اصلی می‌رویم. فرض کنید می‌خواهیم $ 2^3 \times 4^3 $ را حساب کنیم. طبق تعریف توان داریم:
$ 2^3 \times 4^3 = (2 \times 2 \times 2) \times (4 \times 4 \times 4) $
در ضرب، ترتیب و گروه‌بندی اعداد مهم نیست (خاصیت جابجایی و شرکت‌پذیری ضرب). پس می‌توانیم اینطور بازنویسی کنیم:
$ (2 \times 4) \times (2 \times 4) \times (2 \times 4) $
حالا می‌بینیم که $ 2 \times 4 = 8 $ شده و این عدد سه بار در خودش ضرب شده است. یعنی در واقع داریم:
$ 8 \times 8 \times 8 = 8^3 $
به عبارت دیگر، $ 2^3 \times 4^3 = (2 \times 4)^3 = 8^3 $.
کاربرد قانون در دنیای واقعی و حل مسئله
این قانون چطور در زندگی به کارمان می‌آید؟ تصور کنید یک باغ دارید که هم درخت سیب و هم درخت پرتقال کاشته‌اید. شما می‌دانید که حجم فضای مورد نیاز ریشه‌ی هر درخت سیب، یک مکعب به ضلع ۲ متر است ($ 2^3 $ متر مکعب) و حجم فضای مورد نیاز هر درخت پرتقال، یک مکعب به ضلع ۳ متر است ($ 3^3 $ متر مکعب). اگر بخواهید کل فضای اشغال شده توسط ریشه‌های یک درخت سیب و یک درخت پرتقال را بدانید، باید $ 2^3 + 3^3 $ را حساب کنید که قانون ما به آن مربوط نمی‌شود (چون اینجا جمع است، نه ضرب).
اما یک سناریوی ضرب: فرض کنید یک کارخانه‌ی اسباب‌بازی سازی، مکعب‌های رنگی تولید می‌کند. هر بسته شامل ۳ مکعب قرمز به ضلع ۲ سانتی‌متر و ۳ مکعب آبی به ضلع ۵ سانتی‌متر است. حجم کل یک بسته چقدر است؟
حجم کل = (تعداد مکعب‌های قرمز × حجم هر مکعب قرمز) + (تعداد مکعب‌های آبی × حجم هر مکعب آبی)
حجم کل = $ (3 \times 2^3) + (3 \times 5^3) $
اینجا باز هم قانون ما مستقیماً اعمال نمی‌شود چون جمع داریم. اما اگر سؤال این بود: «حاصل ضرب حجم یک مکعب قرمز در حجم یک مکعب آبی چقدر است؟» آنگاه داشتیم:
$ 2^3 \times 5^3 $
که با استفاده از قانون می‌شود:
$ (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000 $ سانتی‌متر مکعب.
می‌بینید که محاسبه‌ی $ 10^3 $ بسیار ساده‌تر از محاسبه‌ی $ 8 \times 125 $ است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر! این یک اشتباه رایج است. قانون فقط برای ضرب است. بررسی می‌کنیم:
$ 2^3 + 5^3 = 8 + 125 = 133 $
$ (2+5)^3 = 7^3 = 343 $
می‌بینید که ۱۳۳ با ۳۴۳ برابر نیست. پس مراقب باشید این دو را با هم اشتباه نگیرید.
پاسخ: قانون برای هر تعداد عبارتی که توان یکسان داشته باشند، صادق است. کافی است همه‌ی پایه‌ها را در هم ضرب کنید و توان مشترک را برای حاصل ضرب بنویسید.
$ 2^2 \times 3^2 \times 4^2 = (2 \times 3 \times 4)^2 = (24)^2 = 576 $
پاسخ: قانون همچنان پابرجاست. فقط باید به علامت پایه‌ها دقت کنید. برای مثال:
$ (-2)^3 \times (5)^3 = ((-2) \times 5)^3 = (-10)^3 = -1000 $
توجه: اگر توان عددی زوج باشد، نتیجه حتماً مثبت خواهد شد. مثلاً $ (-2)^2 \times (3)^2 = ((-2) \times 3)^2 = (-6)^2 = 36 $.
پاورقی
۱توان (Exponent): عددی که نشان می‌دهد پایه چند بار در خودش ضرب شده است.
۲پایه (Base): عددی که قرار است چند بار در خودش ضرب شود.
۳ضرب تواندار (Multiplication of Powers): عمل ضرب بین اعدادی که به صورت توانی نوشته شده‌اند.