ریشه nام حاصلضرب: قانونی ساده با دو شرط مهم
۱. قاعدهی اصلی: ضرب رادیکالها با فرجهٔ یکسان
وقتی دو عبارت رادیکالی با فرجهٔ یکسان (مثلاً هر دو n اُم) در هم ضرب میشوند، میتوانیم محتویات آنها را زیر یک رادیکال مشترک ضرب کنیم. این قاعده در نگاه اول ساده به نظر میرسد، اما نکتهی مهمی در آن نهفته است که به زوج یا فرد بودن فرجه (همان n) مربوط میشود.
اما این تساوی همیشه و برای همهٔ اعداد a و b برقرار نیست. شرایط زیر برای برقراری این قاعده ضروری است:
- شرط اول: فرجهٔ زوج (n زوج) – در این حالت، a و b باید هر دو بزرگتر یا مساوی صفر باشند ($a \ge 0$ و $b \ge 0$). دلیل آن این است که ریشهی زوج یک عدد منفی، در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است.
- شرط دوم: فرجهٔ فرد (n فرد) – در این حالت، a و b میتوانند هر عدد حقیقیای باشند (مثبت، صفر یا منفی). ریشهی فرد برای اعداد منفی نیز تعریف شده و یک عدد منفی است.
۲. چرا تفاوت بین فرجهٔ زوج و فرد مهم است؟
ریشهگیری در حقیقت عکس عمل توانرسانی است. اگر $\sqrt[n]{a} = x$، آنگاه داریم $x^n = a$. حال این سوال پیش میآید: آیا عددی مانند x وجود دارد که با توان زوج، به یک عدد منفی تبدیل شود؟ خیر. زیرا هر عدد حقیقی (مثبت یا منفی) با توان زوج، مثبت میشود. به همین دلیل، زیر رادیکال با فرجهٔ زوج نمیتواند منفی باشد. اما برای توان فرد، علامت عدد حفظ میشود: مثبت به توان فرد، مثبت؛ و منفی به توان فرد، منفی. بنابراین ریشهی فرد برای اعداد منفی نیز معنادار است.
بیایید این تفاوت را با چند مثال عددی در جدول زیر بررسی کنیم. توجه کنید که اعداد منفی با span راستچین نشان داده شدهاند.
| عبارت | فرجه (n) | مقدار a و b | نتیجه $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$ | نتیجه $\sqrt[n]{a \times b}$ | وضعیت |
|---|---|---|---|---|---|
| مثال اول | 2 (زوج) | a=4, b=9 | $2 \times 3 = 6$ | $\sqrt{36}=6$ | برقرار |
| مثال دوم | 2 (زوج) | a=-4, b=-9 | تعریفنشده | $\sqrt{36}=6$ | نقض شرط |
| مثال سوم | 3 (فرد) | a=-8, b=-27 | $(-2) \times (-3) = 6$ | $\sqrt[3]{216}=6$ | برقرار |
| مثال چهارم | 3 (فرد) | a=8, b=-27 | $2 \times (-3) = -6$ | $\sqrt[3]{-216} = -6$ | برقرار |
۳. کاربرد عملی: سادهسازی عبارتهای جبری
این قاعده در سادهسازی عبارتهایی که شامل ضرب چندین رادیکال هستند، بسیار مفید است. برای مثال، فرض کنید میخواهیم حاصلضرب $\sqrt[4]{2x} \times \sqrt[4]{8x^3}$ را بهدست آوریم. از آنجا که فرجه 4 زوج است، باید مطمئن شویم که عبارتهای داخل رادیکال برای دامنهای که در نظر گرفتهایم (مثلاً $x \ge 0$) نامنفی هستند. سپس:
نکتهی مهم در اینجا ظاهر شدن قدرمطلق است. از آنجا که $\sqrt[4]{x^4}$ برای یک x حقیقی، همواره مقدار نامنفی $|x|$ را میدهد، ما نیز آن را مینویسیم. اگر از ابتدا دامنه را $x \ge 0$ گرفته بودیم، قدرمطلق حذف میشد و نتیجه $2x$ میشد.
حال یک مثال با فرجهٔ فرد: $\sqrt[5]{(x-2)^2} \times \sqrt[5]{(x-2)^3}$. در اینجا n=5 فرد است، پس x میتواند هر عدد حقیقی باشد.
توجه کنید که در اینجا نیازی به قدرمطلق نیست، زیرا ریشهی فرد، علامت عدد را حفظ میکند و $\sqrt[5]{(x-2)^5}$ دقیقاً برابر با $x-2$ است.
۴. چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. سمت چپ تساوی برابر است با $\sqrt[4]{16} = 2$. اما در سمت راست، هر یک از عبارتهای $\sqrt[4]{-2}$ و $\sqrt[4]{-8}$ در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشدهاند، زیرا فرجه 4 زوج است و عدد زیر رادیکال منفی است. بنابراین تساوی برقرار نیست و اصلاً سمت راست معنا ندارد.
پاسخ: بله، کاملاً برقرار است. $\sqrt[3]{-1} \times \sqrt[3]{-1} = (-1) \times (-1) = 1$ و $\sqrt[3]{(-1)\times(-1)} = \sqrt[3]{1} = 1$. این مثال نشان میدهد که قاعده برای اعداد منفی با فرجه فرد به خوبی کار میکند.
پاسخ: این تفاوت به همان اصل زوج و فرد بودن فرجه بازمیگردد. در حالت اول، فرجه 2 زوج است، بنابراین خروجی رادیکال همیشه یک مقدار نامنفی است. از آنجا که $x^2$ همواره نامنفی است، رادیکال آن برابر با قدرمطلق $x$ خواهد بود. در حالت دوم، فرجه 3 فرد است و خروجی میتواند منفی نیز باشد، بنابراین رادیکال مکعب $x^3$ دقیقاً خود $x$ است.
پاورقی
- 1فرجه (Index): به عدد n در نماد $\sqrt[n]{a}$ میگویند که نشاندهنده درجه ریشه است.
- 2رادیکال (Radical): به نماد $\sqrt[n]{a}$ گفته میشود که عمل ریشهگیری را نشان میدهد.
- 3مجموعه اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعه تمام اعداد روی محور اعداد، شامل اعداد مثبت، منفی، صفر، گویا و گنگ.
