قانون توانِ حاصلضرب در توانهای گویا
مفهوم توان گویا و ضرورت وجود قانون
پیش از پرداختن به قانون اصلی، لازم است با مفهوم توان گویا1 آشنا شویم. توانهای گویا تعمیمی از توانهای طبیعی هستند. اگر $r = \frac{m}{n}$ یک عدد گویا باشد (که $m$ یک عدد صحیح و $n$ یک عدد طبیعی بزرگتر از $1$ است)، آنگاه:
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$حال فرض کنید میخواهیم حاصلضرب دو عدد مثبت را به توان یک عدد گویا برسانیم، مانند $(ab)^{\frac{2}{3}}$. آیا میتوان این عبارت را به صورت $a^{\frac{2}{3}} \times b^{\frac{2}{3}}$ نوشت؟ پاسخ مثبت است، اما به شرطی که $a$ و $b$ هر دو مثبت باشند. این همان قانون توان حاصلضرب است. این قانون به ما اجازه میدهد تا توان را بین عوامل ضرب توزیع کنیم.
اثبات قانون برای توانهای گویا
برای اثبات این قانون، از تعریف توان گویا و قوانین رادیکالها کمک میگیریم. فرض کنید $a,b \gt 0$ و $r = \frac{m}{n}$ که $n \in \mathbb{N}$ و $m \in \mathbb{Z}$. داریم:
$(ab)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(ab)^m}$از قانون توان برای توانهای طبیعی میدانیم که $(ab)^m = a^m b^m$. بنابراین:
$\sqrt[n]{(ab)^m} = \sqrt[n]{a^m b^m}$حال با استفاده از قانون ضرب رادیکالها (برای ریشههای یکسان) داریم:
$\sqrt[n]{a^m b^m} = \sqrt[n]{a^m} \times \sqrt[n]{b^m}$و در نهایت، با بازنویسی رادیکالها به صورت توان گویا، به نتیجه مطلوب میرسیم:
$\sqrt[n]{a^m} \times \sqrt[n]{b^m} = a^{\frac{m}{n}} \times b^{\frac{m}{n}}$به این ترتیب، اثبات میشود که $(ab)^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} b^{\frac{m}{n}}$. شرط مثبت بودن $a$ و $b$ برای تعریفپذیر بودن ریشههای زوج و جلوگیری از ابهام در اعداد منفی ضروری است.
کاربردهای عملی و مثالهای عینی
قانون توان حاصلضرب در شاخههای مختلف ریاضیات و علوم کاربرد دارد. در زیر چند مثال کلیدی بررسی میشود.
۱. سادهسازی عبارات جبری
فرض کنید میخواهیم عبارت $(16x^4)^{\frac{3}{4}}$ را برای $x>0$ ساده کنیم. با استفاده از قانون:
$(16x^4)^{\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} \times (x^4)^{\frac{3}{4}}$میدانیم $16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$. همچنین از قانون توان به توان $(x^4)^{\frac{3}{4}} = x^{4 \times \frac{3}{4}} = x^3$. بنابراین حاصل عبارت برابر است با:
$8 \times x^3 = 8x^3$۲. محاسبات ذهنی سریع
برای محاسبه $(4 \times 9)^{\frac{1}{2}}$ میتوان ابتدا حاصلضرب را محاسبه کرد: $36^{\frac{1}{2}} = 6$. اما با استفاده از قانون نیز به همین نتیجه میرسیم: $4^{\frac{1}{2}} \times 9^{\frac{1}{2}} = 2 \times 3 = 6$. روش دوم به خصوص زمانی مفید است که اعداد زیر رادیکال مربع کامل نباشند یا محاسبه حاصلضرب اولیه دشوار باشد.
۳. فیزیک و هندسه
در فیزیک، برای محاسبه مقدار مؤثر2 ولتاژ یا جریان متناوب از توانهای گویا استفاده میشود. به عنوان مثال، اگر رابطه یک کمیت فیزیکی به صورت $k\sqrt{AB}$ باشد، با نوشتن آن به صورت $k (AB)^{\frac{1}{2}}$ و سپس $k A^{\frac{1}{2}} B^{\frac{1}{2}}$، تحلیل وابستگی کمیت به $A$ و $B$ سادهتر میشود. در هندسه، یافتن ابعاد یک مکعب مستطیل با حجم و نسبت اضلاع مشخص، اغلب به معادلاتی با توانهای گویا منجر میشود.
| شرط $a,b$ | نوع توان $r$ | قانون $(ab)^r = a^r b^r$ | مثال |
|---|---|---|---|
| $a \gt 0, b \gt 0$ | گویا ($r = \frac{m}{n}$) | برقرار است | $(8 \times 27)^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} \times 27^{\frac{1}{3}}$ |
| $a \lt 0, b \lt 0$ (اما $ab \gt 0$) | گویا با مخرج فرد | برقرار است | $((-8)\times(-27))^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{1}{3}} \times (-27)^{\frac{1}{3}}$ |
| $a \lt 0, b \gt 0$ (حاصلضرب منفی) | گویا با مخرج زوج | تعریف نشده | $((-2)\times 8)^{\frac{1}{2}}$ معنی ندارد. |
چالشهای مفهومی
❓ چرا شرط مثبت بودن $a$ و $b$ در قانون $(ab)^r = a^r b^r$ برای یک توان گویای دلخواه اهمیت دارد؟
زمانی که $r$ یک عدد گویا با مخرج زوج باشد (مانند $\frac{1}{2}$)، عبارت $a^r$ برای $a$ منفی در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نمیشود. بنابراین، برای اینکه قانون برای همهی حالات توان گویا معتبر باشد، باید پایهها مثبت فرض شوند. این شرط تضمین میکند که همهی عبارتهای تواندار در اعداد حقیقی معنی داشته باشند.
❓ آیا میتوان قانون $(ab)^r = a^r b^r$ را برای جمع یا تفریق نیز به کار برد؟ یعنی آیا $(a+b)^r = a^r + b^r$ برقرار است؟
خیر، این قانون یک ویژگی خاص عمل ضرب است و برای جمع و تفریق اصلاً برقرار نیست. به عنوان مثال، $(1+4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} \approx 2.236$ است، در حالی که $1^{\frac{1}{2}} + 4^{\frac{1}{2}} = 1 + 2 = 3$ میباشد که با هم برابر نیستند. این یک اشتباه رایج در بین دانشآموزان است.
❓ اگر $r$ یک عدد صحیح منفی باشد، باز هم قانون $(ab)^r = a^r b^r$ برای اعداد مثبت برقرار است؟
بله، اعداد صحیح زیرمجموعهای از اعداد گویا هستند. برای $r=-n$ (که $n$ طبیعی است)، داریم $(ab)^{-n} = \frac{1}{(ab)^n} = \frac{1}{a^n b^n} = \frac{1}{a^n} \times \frac{1}{b^n} = a^{-n} b^{-n}$. بنابراین قانون حتی برای توانهای صحیح منفی نیز به سادگی قابل اثبات و استفاده است.
پاورقی
1توان گویا (Rational Exponent): توانی که به صورت کسر $\frac{m}{n}$ نوشته میشود و بیانگر عملیات همزمان توانرسانی به توان $m$ و ریشهگیری با درجه $n$ است. این مفهوم، دامنه توان را از اعداد طبیعی به اعداد گویا گسترش میدهد.
2مقدار مؤثر (Root Mean Square - RMS): در فیزیک و مهندسی برق، جذر میانگین مربعات یک کمیت متغیر (مانند ولتاژ متناوب) است که معیاری از توان مفید آن کمیت به دست میدهد و رابطه مستقیمی با توانهای گویا دارد.
