رادیکال: از مفهوم ریشه تا قوانین توانهای کسری
۱. تعریف و اجزای تشکیلدهندهٔ رادیکال
ریشهیابی؛ عملگر معکوس تواندر ریاضیات، رادیکال عملی است که برای یافتن ریشهٔ یک عدد یا عبارت به کار میرود. اگر عمل توان (مثلاً $2^3 = 8$) عددی را تولید کند، رادیکال آن را به عدد پایه برمیگرداند ($\sqrt[3]{8} = 2$) . نماد استاندارد رادیکال $\sqrt[n]{a}$ است که در آن:
- فرجه (n) درجۀ ریشه را نشان میدهد و برای ریشهٔ دوم معمولاً نوشته نمیشود ($\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$).
- رادیکالشونده (a) مقداری است که زیر علامت رادیکال قرار میگیرد .
برای مثال، در عبارت $\sqrt[4]{81}$، عدد $4$ فرجه و $81$ رادیکالشونده است. از آنجایی که $3^4 = 81$، بنابراین $\sqrt[4]{81}=3$.
۲. قوانین پایهای کار با رادیکالها
برای سادهسازی و انجام عملیات روی عبارتهای رادیکالی، آشنایی با قوانین زیر ضروری است .
| نام قانون | فرمول ریاضی | مثال عددی |
|---|---|---|
| ضرب رادیکالها با فرجهٔ یکسان | $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$ | $\sqrt[3]{5} \times \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{10}$ |
| تقسیم رادیکالها با فرجهٔ یکسان | $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ | $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{16} = 2$ |
| توان رادیکال | $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ | $(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16}$ |
| تغییر فرجه | $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \times k]{a^k}$ | $\sqrt[3]{7} = \sqrt[6]{7^2} = \sqrt[6]{49}$ |
علاوه بر این، توجه به علامت رادیکالشونده و فرجه اهمیت ویژهای دارد :
- اگر $a \ge 0$ باشد، آنگاه $\sqrt[n]{a} \ge 0$ (برای هر $n$ طبیعی).
- اگر $a \lt 0$ و $n$ فرد باشد، آنگاه $\sqrt[n]{a} \lt 0$ (مثال: $\sqrt[3]{-8} = -2$).
- اگر $a \lt 0$ و $n$ زوج باشد، آنگاه $\sqrt[n]{a}$ در مجموعهٔ اعداد حقیقی تعریف نمیشود.
۳. ارتباط رادیکال با توان گویا (کسری)
یکی از مهمترین مفاهیم در جبر، پیوند میان رادیکال و توانهای کسری است. این ارتباط به ما اجازه میدهد از هر دو نمایش برای سادهسازی محاسبات بهره ببریم .
برای درک بهتر، جدول زیر چند تبدیل متداول را نشان میدهد:
| عبارت نمایی (توان گویا) | عبارت رادیکالی | مقدار (در صورت وجود) |
|---|---|---|
| $49^{\frac{1}{2}}$ | $\sqrt{49}$ | $7$ |
| $8^{\frac{2}{3}}$ | $\sqrt[3]{8^2}$ یا $(\sqrt[3]{8})^2$ | $4$ |
| $27^{\frac{4}{3}}$ | $\sqrt[3]{27^4}$ | $81$ |
| $x^{\frac{3}{5}}$ | $\sqrt[5]{x^3}$ | عبارت جبری |
برای سادهسازی $32^{\frac{3}{5}}$ میتوان دو مسیر را طی کرد :
- روش اول (ریشه سپس توان):$\sqrt[5]{32}=2$، سپس $2^3 = 8$.
- روش دوم (توان سپس ریشه):$32^3 = 32768$ و $\sqrt[5]{32768} = 8$.
همانطور که مشاهده میشود، روش اول به دلیل کار با اعداد کوچکتر، معمولاً آسانتر است .
۴. کاربرد عملی: سادهسازی و محاسبه در هندسه
یکی از شناختهشدهترین کاربردهای رادیکال، در قضیهٔ فیثاغورس است. اگر طول وتر یک مثلث قائمالزاویه مجهول باشد، آن را از رابطهٔ $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ بهدست میآوریم .
مثال: در یک مثلث قائمالزاویه، اضلاع برابر $5$ و $12$ سانتیمتر هستند. طول وتر برابر است با:
کاربرد دیگر در سادهسازی رادیکالهای ناکامل است. برای سادهسازی $\sqrt{72}$، عدد زیر رادیکال را به حاصلضرب یک مربع کامل در یک عامل دیگر مینویسیم:
❓ چالشهای مفهومی
۵. جدول مقایسهٔ رادیکالهای کامل و ناکامل
اعدادی که ریشهٔ آنها عددی گویا باشد، «مجذور کامل» یا «مکعب کامل» و ... نامیده میشوند. در غیر این صورت، رادیکال ناکامل بوده و مقدار آن عددی گنگ[3] است .
| نوع رادیکال | نمونه | مقدار تقریبی/دقیق | ویژگی |
|---|---|---|---|
| کامل (مجذور کامل) | $\sqrt{144}$ | $12$ | گویا |
| ناکامل | $\sqrt{2}$ | ≈$1.4142$ | گنگ |
| ناکامل (سادهشده) | $\sqrt{18}$ | $3\sqrt{2}$ | عبارت جبری سادهشده |
✓ صورت کسر در توان گویا، همان توان عدد زیر رادیکال است و مخرج کسر، فرجهٔ رادیکال را مشخص میکند .
✓ برای سادهسازی، ابتدا عاملهای مربع کامل (یا مکعب کامل و ...) را از زیر رادیکال خارج کنید .
✓ هنگام جمع و تفریق رادیکالها، فقط در صورتی میتوان جملات را ترکیب کرد که هم فرجه و هم رادیکالشونده یکسان باشند .
✓ اگر با رادیکال در مخرج کسر مواجه شدید، معمولاً با گویا کردن مخرج (ضرب صورت و مخرج در مزدوج یا همان رادیکال)، عبارت را سادهتر میکنیم .
پاورقی
2توان گویا (Rational Exponent): توانی که به صورت کسر $\frac{m}{n}$ نوشته میشود و معادل با ریشهٔ $n$ام عدد پایه به توان $m$ است .
3عدد گنگ (Irrational Number): عددی که نمیتوان آن را به صورت کسری از دو عدد صحیح نشان داد. نمایش اعشاری آن غیرمتناهی و غیرمتناوب است (مانند $\sqrt{2}$).
