ریشههای عدد: توان با نمای 1/n و رازهای آن
تعریف ریشه nام: از توان به ریشه
وقتی با عبارتی مانند $ 2^3 $ روبرو میشویم، میدانیم که یعنی $ 2 \times 2 \times 2 = 8 $. اینجا عدد $ 2 $ پایه و عدد $ 3 $ نما است. اما اگر از ما بپرسند «چه عددی را سه بار در خودش ضرب کنیم تا به ۸ برسیم؟»، پاسخ $ 2 $ است. در واقع ما به دنبال ریشه سوم عدد ۸ هستیم. این دقیقاً همان چیزی است که توان با نمای $ \frac{1}{3} $ بیان میکند: $ 8^{\frac{1}{3}} = 2 $.
به بیان کلی، برای $ a \gt 0 $ و $ n \ge 2 $ (که n یک عدد طبیعی است)، داریم:
به $ a^{\frac{1}{n}} $ یا $ \sqrt[n]{a} $، «ریشه nام a» میگویند. برای n=2، آن را ریشه دوم و برای n=3، ریشه سوم مینامیم. علامت $ \sqrt{} $ رادیکال1 خوانده میشود.
مثال: ریشه چهارم عدد $ 81 $ چیست؟ به دنبال عددی میگردیم که با چهار بار ضرب در خودش، $ 81 $ را بسازد. میدانیم $ 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 $، پس $ 81^{\frac{1}{4}} = 3 $.
چرا a باید مثبت باشد؟ ( $ a \gt 0 $ )
در تعریف ما شرط کردیم که $ a \gt 0 $. دلیل این امر به دنیای اعداد حقیقی2 برمیگردد. اگر a منفی باشد و n فرد باشد (مثل $ \sqrt[3]{-8} $)، جواب حقیقی وجود دارد ($ -2 $)، اما اگر n زوج باشد (مثل $ \sqrt{-4} $)، هیچ عدد حقیقیای وجود ندارد که با توان زوج به یک عدد منفی برسد. برای پرهیز از این پیچیدگی و حفظ یکدستی، در این مقاله تمرکز ما روی اعداد مثبت است.
کاربرد عملی: از رشد باکتری تا نرخ بهره
مفهوم ریشه nام صرفاً یک بازی ریاضی نیست؛ در دنیای واقعی کاربردهای شگفتانگیزی دارد. بیایید با دو مثال این کاربردها را بررسی کنیم.
مثال اول: زیستشناسی. فرض کنید جمعیت یک باکتری هر ساعت $ 2 $ برابر میشود. پس از $ 3 $ ساعت، جمعیت اولیه $ 2^3 = 8 $ برابر میشود. حال اگر بعد از $ 5 $ ساعت، جمعیت به $ 32 $ برابر جمعیت اولیه رسیده باشد، نرخ رشد ساعتی چقدر است؟ باید ریشه پنجم $ 32 $ را حساب کنیم: $ 32^{\frac{1}{5}} = 2 $. یعنی نرخ رشد ساعتی $ 2 $ (یا ۱۰۰٪) بوده است.
مثال دوم: امور مالی. سپردهگذاری با بهره مرکب3 را در نظر بگیرید. اگر سرمایه اولیه $ P $ بعد از $ n $ دوره به مقدار $ A $ تبدیل شود، نرخ بهره سالانه $ r $ (که به صورت اعشاری نوشته میشود) در فرمول $ A = P(1+r)^n $ ظاهر میشود. اگر بخواهیم نرخ بهره را پیدا کنیم، باید ریشه nام طرفین را محاسبه کنیم:
$ (1+r) = (\frac{A}{P})^{\frac{1}{n}} $فرض کنید سرمایهای $ 100 $ میلیون تومان پس از $ 3 $ سال به $ 133.1 $ میلیون تومان تبدیل شود. برای یافتن نرخ بهره سالانه داریم:
$ 1+r = (\frac{133.1}{100})^{\frac{1}{3}} = (1.331)^{\frac{1}{3}} $میدانیم $ 1.1^3 = 1.331 $، پس $ (1.331)^{\frac{1}{3}} = 1.1 $. بنابراین $ 1+r = 1.1 $ و نرخ بهره سالانه $ r = 0.1 $ یا همان ۱۰٪ خواهد بود.
مقایسه ریشهها: هر چه n بزرگتر، ...
یکی از سوالات جذاب این است که با ثابت بودن a، با افزایش n چه تغییری در مقدار $ a^{\frac{1}{n}} $ رخ میدهد؟ رفتار برای aهای بزرگتر از ۱ و کوچکتر از ۱ متفاوت است. جدول زیر این تفاوت را به خوبی نشان میدهد.
| عدد a | n=2 | n=3 | n=5 | n=10 | روند |
|---|---|---|---|---|---|
| $ 16 $ | $ 4 $ | $ \approx 2.52 $ | $ \approx 1.74 $ | $ \approx 1.32 $ | کاهشی |
| $ 1 $ | $ 1 $ | $ 1 $ | $ 1 $ | $ 1 $ | ثابت |
| $ 0.25 $ | $ 0.5 $ | $ \approx 0.63 $ | $ \approx 0.76 $ | $ \approx 0.87 $ | افزایشی |
همانطور که جدول نشان میدهد، اگر a بزرگتر از $ 1 $ باشد، با بزرگتر شدن n، ریشه nام به سمت $ 1 $ میل میکند و مقدار آن کاهش مییابد. اگر a بین $ 0 $ و $ 1 $ باشد، با بزرگتر شدن n، ریشه nام افزایش یافته و باز هم به سمت $ 1 $ میل میکند. و اگر $ a=1 $ باشد، همه ریشهها برابر $ 1 $ هستند.
چالشهای مفهومی در درک $ a^{1/n} $
❓ چالش ۱: آیا $ a^{1/n} $ همیشه یک عدد گویا4 است؟
پاسخ: خیر. $ a^{1/n} $ تنها در صورتی گویا است که a یک توان nام کامل از یک عدد گویا باشد. برای مثال، $ 8^{1/3} = 2 $ یک عدد گویاست، اما $ 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414 $ یک عدد گنگ5 است. در واقع، بیشتر ریشهها اعدادی گنگ هستند.
❓ چالش ۲: تفاوت $ (a^{1/n})^m $ با $ a^{m/n} $ چیست؟
پاسخ: این دو عبارت کاملاً معادل هستند. قانون توانها به ما میگوید که $ (a^{1/n})^m = a^{m/n} $. همچنین میتوانیم ابتدا a را به توان m برسانیم و سپس ریشه nام بگیریم: $ (a^m)^{1/n} = a^{m/n} $. این انعطافپذیری در محاسبات بسیار مفید است. برای مثال، $ 8^{2/3} $ را میتوان به صورت $ (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4 $ یا $ (8^2)^{1/3} = 64^{1/3} = 4 $ محاسبه کرد.
❓ چالش ۳: چگونه $ 16^{0.75} $ را با مفهوم ریشه تفسیر کنیم؟
پاسخ: ابتدا نمای اعشاری را به کسر تبدیل میکنیم. $ 0.75 = \frac{3}{4} $. بنابراین $ 16^{0.75} = 16^{3/4} $. این یعنی ابتدا ریشه چهارم 16 را بگیریم ($ 16^{1/4} = 2 $) و سپس آن را به توان ۳ برسانیم ($ 2^3 = 8 $). پس $ 16^{0.75} = 8 $.
پاورقی
2اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعه تمام اعداد گویا و گنگ که روی محور اعداد قابل نمایش هستند.
3بهره مرکب (Compound Interest): نوعی محاسبه سود که در آن سود هر دوره به اصل سرمایه اضافه میشود و دورههای بعد، سود بر اساس سرمایه جدید محاسبه میگردد.
4عدد گویا (Rational Number): عددی که میتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح (کسر) نوشت.
5عدد گنگ (Irrational Number): عددی که نمیتوان آن را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت و نمایش اعشاری آن غیرمتناوب و نامتناهی است.