رابطه شیب خط با تانژانت زاویه: پلی بین جبر و هندسه
مفهوم شیب خط و زاویۀ خط
در ریاضیات، برای نشان دادن میزان تند بودن یک خط راست، از مفهومی به نام شیب استفاده میکنیم. اگر دو نقطه روی یک خط داشته باشیم، شیب خط برابر است با نسبت تغییرات عمودی به تغییرات افقی. اما این مقدار عددی، ارتباط نزدیکی با زاویهای دارد که خط با افق میسازد. به زاویهای که خط با جهت مثبت محور افقی (محور xها) میسازد، زاویۀ خط[1] میگویند. این زاویه معمولاً با حرف یونانی α (آلفا) نمایش داده میشود و مقداری بین 0 درجه (برای خطوط افقی) و 180 درجه (برای خطوط افقی با جهت مخالف) دارد.
به طور مثال، خطی که با افق زاویۀ 45 درجه میسازد، به ازای هر واحد حرکت به سمت راست، یک واحد به سمت بالا حرکت میکند. بنابراین شیب آن برابر با 1 است. این هماندازگی ساده، هستۀ اصلی رابطهای است که در این مقاله به آن میپردازیم.
تانژانت یک زاویه در مثلث قائمالزاویه
پیش از آنکه به رابطه اصلی بپردازیم، باید با مفهوم تانژانت آشنا شویم. در یک مثلث قائمالزاویه، تانژانت یکی از زوایای حاده، از تقسیم طول ضلع مقابل به آن زاویه بر طول ضلع مجاور آن به دست میآید.
فرض کنید یک خط راست داریم که از مبدأ مختصات میگذرد و با محور xها زاویۀ α میسازد. اگر روی این خط، نقطۀ P را با مختصات (x , y) در نظر بگیریم، میتوانیم یک مثلث قائمالزاویه بسازیم. در این مثلث، خط از مبدأ تا نقطه P وتر، مختصات x نقطۀ P ضلع مجاور زاویۀ α، و مختصات y نقطۀ P ضلع مقابل آن خواهد بود. بنابراین:
برابری شیب خط و تانژانت زاویه: اثبات و تفسیر هندسی
شیب یک خط که با نماد m نشان داده میشود، برای خط گذرنده از دو نقطۀ (x_1 , y_1) و (x_2 , y_2) به صورت زیر تعریف میشود:
حال اگر خط را در نظر بگیریم که با محور xها زاویۀ α میسازد، میتوانیم دو نقطه روی آن انتخاب کنیم. با رسم خطی موازی محور xها از یکی از نقاط و خطی موازی محور yها از نقطۀ دیگر، یک مثلث قائمالزاویه تشکیل میشود که وتر آن روی خط اصلی قرار دارد. در این مثلث، $\Delta y$ (تغییرات عمودی) برابر با طول ضلع مقابل به زاویۀ α و $\Delta x$ (تغییرات افقی) برابر با طول ضلع مجاور آن است. بنابراین داریم:
این رابطه نشان میدهد که شیب هر خط غیرقائم برابر با تانژانت زاویهای است که آن خط با جهت مثبت محور افقی میسازد.
مثال عملی: محاسبۀ شیب یک سطح شیبدار
فرض کنید در یک پروژهٔ عمرانی، یک سطح شیبدار با زاویۀ 30 درجه نسبت به زمین ساخته شده است. برای محاسبۀ میزان شیب این سطح (که در نقشهکشی و محاسبۀ نیروها اهمیت دارد)، کافی است تانژانت زاویۀ 30 درجه را محاسبه کنیم:
این یعنی به ازای هر 1 متر حرکت در جهت افقی، سطح به اندازۀ تقریبی 0.577 متر بالا آمده است. اگر طول افقی سطح 10 متر باشد، ارتفاع انتهای آن 5.77 متر خواهد بود.
کاربرد عملی: تشخیص شیب خطوط موازی و عمود
رابطۀ $m = \tan \alpha$ درک ما را از روابط بین خطوط بسیار سادهتر میکند:
- خطوط موازی: دو خط موازی با جهت مثبت محور xها زاویههای برابر میسازند. در نتیجه تانژانت آنها و در نتیجه شیبشان با هم برابر است. بنابراین $m_1 = m_2$.
- خطوط عمود بر هم: اگر دو خط بر هم عمود باشند، زاویۀ یکی با افق، $90^\circ$ بیشتر از دیگری است (α و $90^\circ + \alpha$). با استفاده از رابطۀ مثلثاتی $\tan(90^\circ + \alpha) = -\cot \alpha = -\frac{1}{\tan \alpha}$، نتیجه میگیریم که حاصل ضرب شیب این دو خط برابر $-1$ است ($m_1 \cdot m_2 = -1$).
| زاویه با محور x (α) | مقدار tanα | شیب خط (m) | نوع خط |
|---|---|---|---|
| 0^\circ | 0 | 0 | افقی |
| 30^\circ | $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ | 0.577 | مایل (تندای کم) |
| 45^\circ | 1 | 1 | مایل (شیب 1 به 1) |
| 60^\circ | $\sqrt{3} \approx 1.732$ | 1.732 | مایل (تند) |
| 90^\circ | تعریفنشده | تعریفنشده | قائم |
| 120^\circ | $-\sqrt{3} \approx -1.732$ | -1.732 | مایل (شیب منفی) |
چالشهای مفهومی
پاسخ: خط قائم با محور xها زاویۀ 90 درجه میسازد. مقدار $\tan 90^\circ$ تعریفنشده است (به سمت بینهایت میل میکند). از دید هندسی نیز، در یک خط قائم، تغییرات افقی ($\Delta x$) صفر است و تقسیم بر صفر در فرمول شیب معنا ندارد.
پاسخ: شیب برابر است با $\tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$. علامت منفی نشان میدهد که خط دارای شیب نزولی است؛ یعنی با افزایش x، مقدار y کاهش مییابد.
پاسخ: خیر. شرط عمود بودن دو خط (غیر از خطوط قائم و افقی) این است که حاصل ضرب شیبهای آنها $-1$ شود. $2 \times (-2) = -4 \neq -1$. این دو خط نسبت به محور xها زوایایی دارند که مجموع آنها $180^\circ$ است (متقارن نسبت به محور عمودی).
پاورقی
[1]زاویۀ خط (Inclination of a Line): کوچکترین زاویۀ مثبتی که یک خط راست با جهت مثبت محور xها میسازد. دامنۀ این زاویه $0^\circ \le \alpha \lt 180^\circ$ است.
[2]شیب خط (Slope of a Line): معیاری برای نشان دادن میزان تند بودن خط و جهت آن که از نسبت تغییرات قائم به تغییرات افقی بین دو نقطه روی خط به دست میآید.
