ربع مثلثاتی: نقشهی راه زوایا در صفحه مختصات
شناخت چهار ناحیه، علامت توابع و کاربرد آن در حل مسائل مثلثاتی
ربع مثلثاتی (Quadrant) یکی از چهار ناحیهای است که محورهای x و y عمود بر هم، صفحهٔ مختصات را تقسیم میکنند. این تقسیمبندی در دایرهٔ مثلثاتی، نقشهای کلیدی برای تعیین علامت توابع سینوس1، کسینوس2 و تانژانت3 است. شناخت نظم حاکم بر این نواحی، گام اول برای درک عمیق معادلات مثلثاتی و چرخههای زاویهای است.
۱. صفحهٔ مختصات و تولد چهار ناحیه
برای ساخت صفحهٔ مختصات، دو محور عددی عمود بر هم به نامهای محور افقی x (طول) و محور عمودی y (عرض) را در نظر میگیریم. محل برخورد این دو محور، «مبدأ مختصات» نام دارد. این دو خط عمود، صفحهٔ بیانتهای پیرامون خود را به چهار ناحیهٔ مجزا تقسیم میکنند که هر یک را یک ربع مثلثاتی مینامیم. شمارهگذاری این ربعها برخلاف جهت حرکت عقربههای ساعت (جهت مثبت) انجام میشود:
- ربع اول: جایی که طول (x) و عرض (y) هر دو مثبت هستند (x>0, y>0).
- ربع دوم: طول منفی و عرض مثبت است (x<0, y>0).
- ربع سوم: طول و عرض هر دو منفی هستند (x<0, y<0).
- ربع چهارم: طول مثبت و عرض منفی است (x>0, y<0).
۲. دایرهٔ مثلثاتی و جایگاه ربعها
دایرهٔ مثلثاتی دایرهای به شعاع 1 است که مرکز آن روی مبدأ مختصات قرار دارد. هر نقطه روی محیط این دایره، متناظر با یک زاویه است. زاویهها معمولاً از جهت مثبت محور x (سمت راست مبدأ) و در خلاف جهت عقربههای ساعت اندازهگیری میشوند.
ارتباط زاویه و ربعها:
ارتباط زاویه و ربعها:
- زوایای بین 0° و 90° (یا 0 تا π/2 رادیان) در ربع اول قرار دارند.
- زوایای بین 90° و 180° (π/2 تا π) در ربع دوم جای میگیرند.
- زوایای بین 180° و 270° (π تا 3π/2) مربوط به ربع سوم هستند.
- زوایای بین 270° و 360° (3π/2 تا 2π) در ربع چهارم قرار میگیرند.
۳. قانون علامت توابع مثلثاتی در هر ربع
یکی از مهمترین کاربردهای ربعهای مثلثاتی، تعیین علامت توابع اصلی است. با کمک یک قانون ساده میتوان این علامتها را به خاطر سپرد: «یک سین تان کس». این عبارت برگرفته از حرف اول توابع مثبت در هر ربع است:
- یک (همه) در ربع اول: تمام توابع (سینوس، کسینوس، تانژانت) مثبت هستند.
- سی (سینوس) در ربع دوم: فقط تابع سینوس (و همتوان آن، کسکانت) مثبت است.
- تان (تانژانت) در ربع سوم: فقط تابع تانژانت (و همتوان آن، کوتانژانت) مثبت است.
- کس (کسینوس) در ربع چهارم: فقط تابع کسینوس (و همتوان آن، سکانت) مثبت است.
| ربع مثلثاتی | محدوده زاویه (درجه) | علامت سینوس | علامت کسینوس | علامت تانژانت |
|---|---|---|---|---|
| ربع اول | 0° < θ < 90° | مثبت (+) | مثبت (+) | مثبت (+) |
| ربع دوم | 90° < θ < 180° | مثبت (+) | منفی (-) | منفی (-) |
| ربع سوم | 180° < θ < 270° | منفی (-) | منفی (-) | مثبت (+) |
| ربع چهارم | 270° < θ < 360° | منفی (-) | مثبت (+) | منفی (-) |
۴. کاربرد عملی: تعیین علامت و زاویهٔ مرجع
فرض کنید میخواهیم مقدار sin 210° را پیدا کنیم. کافیست دو گام برداریم:
- تشخیص ربع: زاویهٔ 210° بین 180° و 270° است، پس در ربع سوم قرار دارد. در این ربع، سینوس منفی است.
- زاویهٔ مرجع: برای یافتن مقدار عددی (صرفنظر از علامت)، فاصلهٔ زاویه تا نزدیکترین محور x را حساب میکنیم: 210° - 180° = 30°. به این عدد، «زاویهٔ مرجع» میگویند.
مثال دیگر: اگر cos θ = √3/2 و θ در ربع چهارم باشد، آنگاه θ برابر با 330° خواهد بود، زیرا کسینوس در ربع چهارم مثبت و زاویهٔ مرجع 30° است.
۵. چالشهای مفهومی
❓ سؤال ۱: چرا تابع تانژانت در ربع اول و سوم مثبت است، اما در ربع دوم و چهارم منفی؟
پاسخ: تانژانت از تقسیم سینوس بر کسینوس به دست میآید (tan θ = sin θ / cos θ). در ربع اول، صورت و مخرج مثبت هستند (نتیجه: مثبت). در ربع دوم، سینوس مثبت و کسینوس منفی است (تقسیم مثبت بر منفی: منفی). در ربع سوم، هر دو منفی هستند (تقسیم منفی بر منفی: مثبت). در ربع چهارم، سینوس منفی و کسینوس مثبت است (تقسیم منفی بر مثبت: منفی).
❓ سؤال ۲: زاویهٔ -45° در کدام ربع قرار میگیرد؟
پاسخ: زاویهٔ منفی در جهت حرکت عقربههای ساعت اندازهگیری میشود. -45° معادل 315° ( 360° - 45° ) است. بنابراین این زاویه در ربع چهارم قرار دارد، جایی که x مثبت و y منفی است.
❓ سؤال ۳: اگر sin θ < 0 و cos θ > 0 باشد، زاویهٔ θ در کدام ربع است؟
پاسخ: با توجه به جدول علامتها، سینوس منفی در ربع سوم و چهارم دیده میشود. کسینوس مثبت در ربع اول و چهارم دیده میشود. ناحیهٔ اشتراک این دو شرط (جایی که همزمان سینوس منفی و کسینوس مثبت باشد) ربع چهارم است.
شناخت ربعهای مثلثاتی، بسیار فراتر از یک طبقهبندی ساده است. این مفهوم، پلی است بین هندسه و جبر که به ما امکان میدهد رفتار توابع مثلثاتی را در سراسر صفحهٔ مختصات پیشبینی کنیم. از تعیین علامت یک تابع گرفته تا حل معادلات مثلثاتی پیچیده و مدلسازی پدیدههای دورهای مانند امواج صوتی و نوری، درک درست از این چهار ناحیه، پایهای ضروری و انکارناپذیر است.
پاورقی
1سینوس (Sine): در یک مثلث قائمالزاویه، نسبت ضلع مقابل به زاویهٔ حاده، به وتر. در دایرهٔ مثلثاتی، برابر با مختصات y نقطهٔ روی دایره است.
2کسینوس (Cosine): در مثلث قائمالزاویه، نسبت ضلع مجاور زاویهٔ حاده به وتر. در دایرهٔ مثلثاتی، برابر با مختصات x نقطهٔ روی دایره است.
3تانژانت (Tangent): در مثلث قائمالزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور زاویهٔ حاده. در دایرهٔ مثلثاتی، برابر با نسبت سینوس به کسینوس (شیب خط واصل مبدأ به نقطه) است.
2کسینوس (Cosine): در مثلث قائمالزاویه، نسبت ضلع مجاور زاویهٔ حاده به وتر. در دایرهٔ مثلثاتی، برابر با مختصات x نقطهٔ روی دایره است.
3تانژانت (Tangent): در مثلث قائمالزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور زاویهٔ حاده. در دایرهٔ مثلثاتی، برابر با نسبت سینوس به کسینوس (شیب خط واصل مبدأ به نقطه) است.