زاویه منفی: مفهوم، جهت و کاربرد در دایره مثلثاتی
ماهیت زاویه منفی و جهتگیری آن
در صفحه مختصات، زاویهها معمولاً از روی نیمخط مثبت محور xها (ضلع اولیه) شکل میگیرند. اگر حرکت پادساعتگرد باشد، زاویه مثبت و اگر حرکت ساعتگرد باشد، زاویه منفی نامیده میشود. به عبارت دیگر، زاویه منفی معادل دوران در جهت مخالف تعریف استاندارد (جهت مثلثاتی) است. برای نمونه، زاویه $-30^\circ$ دقیقاً همان اندازه $30^\circ$ را دارد، اما جهت آن ساعتگرد است.
دایره مثلثاتی با شعاع $1$ واحد، بهترین ابزار برای نمایش این زاویههاست. روی این دایره، نقطهای که با زاویه مثبت $\theta$ مشخص میشود، با نقطه نظیر زاویه منفی $-\theta$ بر روی دایره متفاوت است، مگر در حالات خاص. بهطور کلی، اگر زاویهای مانند $+\alpha$ را روی دایره در نظر بگیریم، زاویه منفی $-\alpha$ قرینه آن نسبت به محور xها خواهد بود.
رابطه بین زاویه مثبت و منفی: همنهشتی (Coterminal Angles)
دو زاویه را همنهشت4 گویند، هرگاه ضلع نهایی آنها بر هم منطبق باشد. یک زاویه منفی با یک زاویه مثبت بزرگ (بیش از یک دور کامل) میتواند همنهشت باشد. برای یافتن زاویه مثبت متناظر با یک زاویه منفی، کافی است $360^\circ$ (یا $2\pi$ رادیان) را به آن اضافه کنیم. به همین ترتیب، اگر زاویه مثبتی داشتیم، میتوانیم با کم کردن مضاربی از $360^\circ$ به معادل منفی آن برسیم.
$\theta_{\text{positive}} = \theta_{\text{negative}} + 360^\circ \times k , \quad k \in \mathbb{Z}$
برای مثال، زاویه $-45^\circ$ با $315^\circ$ همنهشت است.
مثال: فرض کنید در یک مسأله فیزیک، زاویه $-120^\circ$ را داریم. برای سادگی محاسبات، میتوانیم آن را به $240^\circ$ تبدیل کنیم ($-120 + 360 = 240$). این دو زاویه روی دایره مثلثاتی یک نقطه را نشان میدهند.
کاربرد عملی: محاسبه توابع مثلثاتی برای زاویه منفی
توابع مثلثاتی برای زاویههای منفی تعریف مشخصی دارند و میتوان آنها را به توابع زاویه مثبت مرتبط کرد. برای نمونه:
- $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ (تابع فرد)
- $\cos(-\theta) = \cos \theta$ (تابع زوج)
- $\tan(-\theta) = -\tan \theta$ (تابع فرد)
این روابط از تقارن دایره مثلثاتی ناشی میشوند. برای روشن شدن موضوع، زاویه $-60^\circ$ را در نظر بگیرید. مطابق قاعده بالا، $\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. با کمی دقت میبینید نقطه متناظر با زاویه $-60^\circ$ در ربع چهارم دایره قرار دارد که $x$ مثبت و $y$ منفی است.
جدول مقایسه: زاویه مثبت در مقابل زاویه منفی
| ویژگی | زاویه مثبت ($+\theta$) | زاویه منفی ($-\theta$) |
|---|---|---|
| جهت حرکت | پادساعتگرد (مثبت) | ساعتگرد (منفی) |
| موقعیت ضلع نهایی | متفاوت با $-\theta$ (معمولاً در ربعهای اول، دوم) | معمولاً در ربعهای سوم و چهارم (معادل $360^\circ - \theta$) |
| مقدار سینوس | $\sin(\theta)$ | $-\sin(\theta)$ |
| مقدار کسینوس | $\cos(\theta)$ | $\cos(\theta)$ |
چالشهای مفهومی رایج درباره زاویه منفی
چالش ۱: آیا زاویه منفی به معنی «کمتر از صفر بودن» زاویه است؟
پاسخ: خیر. زاویه منفی یک قرارداد جهتی است، نه یک کمیت منفی در مفهوم عددی. اندازه یک زاویه (قدر مطلق) همیشه مثبت است؛ اما علامت منفی فقط جهت حرکت روی دایره را نشان میدهد. برای نمونه در حرکت آونگ، اگر جهت رفت را مثبت بگیریم، جهت برگشت را میتوان با زاویه منفی مدلسازی کرد.
چالش ۲: چرا $\cos(-\theta)=\cos \theta$ اما $\sin(-\theta)=-\sin \theta$؟
این موضوع به تقارن دایره برمیگردد. کسینوس برابر مختصه $x$ نقطه روی دایره است. با تغییر علامت زاویه، مختصه $x$ تغییر نمیکند (چون قرینه کردن نسبت به محور $x$ها همان $x$ را نگه میدارد) اما مختصه $y$ قرینه میشود؛ بنابراین سینوس علامت عوض میکند.
چالش ۳: آیا میتوان یک معادله مثلثاتی را با زاویه منفی حل کرد؟
بله. کافی است با استفاده از روابطی که گفتیم، زاویه منفی را به معادل مثبت آن (با اضافه کردن $360^\circ$) تبدیل کنیم. برای مثال، معادله $\sin x = -\frac{1}{2}$ پاسخهایی مانند $x = -30^\circ$ و $x = 210^\circ$ دارد که با هم همنهشت هستند.
کاربرد در مسائل مهندسی و فیزیک
در تحلیل مدارهای AC، فاز ولتاژ یا جریان ممکن است به صورت زاویه منفی نمایش داده شود که نشاندهنده تأخیر فاز است. به همین ترتیب، در مکانیک، وقتی مسیر حرکت یک نقطه روی چرخدندهها را خلاف جهت عقربههای ساعت تعریف کنیم، جهت مخالف با زاویه منفی بیان میشود. مثلاً اگر چرخدندهای $90^\circ$ در جهت مثبت بچرخد و سپس $30^\circ$ برگردد، میتوان گفت جمعاً $+90^\circ + (-30^\circ) = +60^\circ$ چرخیده است.
پاورقی
1زاویه منفی (Negative Angle): به زاویهای گفته میشود که در جهت حرکت عقربههای ساعت از ضلع اولیه تا ضلع ناتیی اندازهگیری شود. در ریاضیات، این جهت را با علامت منفی نمایش میدهند.
2دایره مثلثاتی (Unit Circle): دایرهای به شعاع یک که مرکز آن در مبدأ مختصات قرار دارد. هر نقطه روی محیط آن با یک زاویه و مختصات $(\cos \theta, \sin \theta)$ متناظر است.
3روابط متمم (Cofunction Identities): روابطی که توابع مثلثاتی یک زاویه را به توابع زاویه متمم آن پیوند میدهد، مانند $\sin(90^\circ - \theta)=\cos \theta$.
4زوایای همنهشت (Coterminal Angles): دو زاویه که ضلع نهایی یکسانی روی دایره مثلثاتی دارند. تفاوت آنها مضرب صحیحی از $360^\circ$ (یا $2\pi$ رادیان) است.
