تشابه مثلثها با دو زاویه: چرا کافی است؟
مثلثهای متشابه: تعریف و نسبت طلایی
به دو مثلث متشابه (Similar) میگوییم اگر زاویههای نظیرشان برابر و طول اضلاع نظیرشان متناسب باشد. یعنی اگر مثلث اول را بزرگ یا کوچک کنیم، به مثلث دوم میرسیم. جالب اینجاست که برای تشخیص این تناسب، نیازی به دانستن همه اضلاع نیست. گاهی فقط با دو زاویه میتوان حکم به تشابه داد. به این شرط، «تشابه زاویه-زاویه»AA میگویند.
فرض کنید در مثلث $ABC$ داشته باشیم $\angle A = 50^\circ$ و $\angle B = 60^\circ$. در مثلث دیگر $DEF$ نیز $\angle D = 50^\circ$ و $\angle E = 60^\circ$. از آنجایی که مجموع زاویههای هر مثلث $180^\circ$ است، زاویه سوم نیز برابر خواهد بود: $\angle C = \angle F = 70^\circ$. پس هر سه زاویه برابر میشوند و تشابه قطعی است. به همین سادگی!
چرا دو زاویه کافی است؟ (اثبات ساده)
دلیل این قاعده به «قضیه جمع زاویههای داخلی مثلث» برمیگردد. اگر دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند، آنگاه مجموع این دو زاویه در هر دو مثلث یکسان است. از آنجا که مجموع سه زاویه همواره $180^\circ$ است، زاویه سوم نیز حتماً برابر خواهد بود. با برابر شدن هر سه زاویه، شکل دو مثلث کاملاً یکسان میشود و فقط اندازهشان ممکن است متفاوت باشد. این یعنی تناسب اضلاع.
فرض کنید:
- در مثلث اول: $\angle A_1 = \alpha$ و $\angle A_2 = \beta$
- در مثلث دوم: $\angle B_1 = \alpha$ و $\angle B_2 = \beta$
مجموع زاویهها:
- زاویه سوم مثلث اول: $180^\circ - (\alpha + \beta)$
- زاویه سوم مثلث دوم: $180^\circ - (\alpha + \beta)$
پس هر سه زاویه برابرند و طبق تعریف تشابه، دو مثلث متشابهاند.
کاربرد عملی: اندازهگیری ارتفاع با سایه
یکی از کاربردهای جذاب تشابه زاویه-زاویه، اندازهگیری ارتفاع اشیای بلند مثل درخت یا ساختمان است. فرض کنید میخواهیم ارتفاع یک درخت را بدون بالارفتن از آن پیدا کنیم. کافی است یک چوب را به طور عمودی در زمین فرو کنیم و طول سایه آن را اندازه بگیریم. همزمان، طول سایه درخت را هم اندازه میگیریم. پرتوهای خورشید با زمین یک زاویه میسازند. این زاویه برای چوب و درخت یکسان است. همچنین هر دو با زمین زاویه قائمه میسازند (چون عمود هستند). بنابراین دو زاویه برابر داریم و دو مثلث (یکی با چوب و سایهاش، دیگری با درخت و سایهاش) متشابه خواهند بود.
مثال عددی: چوبی به ارتفاع $1.5$ متر سایهای به طول $2$ متر انداخته است. درخت در همان لحظه سایهای به طول $12$ متر دارد. نسبت تشابه برابر است با $\frac{12}{2} = 6$. پس ارتفاع درخت $1.5 \times 6 = 9$ متر خواهد بود.
| شرط تشابه | توضیح مختصر | میزان اطمینان |
|---|---|---|
| زاویه-زاویه (AA) | دو زاویه برابر باشند، سومی هم برابر است. | قطعی |
| ضلع-زاویه-ضلع (SAS) | دو ضلع متناسب و زاویه بین برابر. | قطعی |
| ضلع-ضلع-ضلع (SSS) | سه ضلع متناسب باشند. | قطعی |
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ اگر دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند، اما مثلثها همجهت نباشند (یکی وارونه باشد)، باز هم متشابهاند؟
بله. تشابه به جهتگیری مثلثها ربطی ندارد. اگر یکی وارونه یا چرخیده باشد،اما تا زمانی که زاویهها برابر باشند، اضلاع نظیرمتناسبخواهند ماند. فقط باید دقت کنیم کدام ضلع نظیر کدام است. زاویههای برابر، ضلعهای مقابل خود را مشخص میکنند.
❓ آیا میتوان گفت هر دو مثلث قائمالزاویهای که یک زاویه تند برابر داشته باشند، متشابهاند؟
دقیقاً! در مثلث قائمالزاویه یک زاویه $90^\circ$ است. اگر یک زاویه تند دیگر برابر باشد، دو زاویه برابر داریم (قائمه و آن زاویه تند) و بلافاصله تشابه برقرار میشود. این یک نتیجه کاربردی مهم است.
❓ اگر فقط یک زاویه از دو مثلث برابر باشد، آیا احتمال تشابه وجود دارد؟
خیر، به هیچ وجه. با یک زاویه برابر، مثلثها میتوانند شکلهای کاملاً متفاوتی داشته باشند. مثلاً دو مثلث قائمالزاویه با زاویه قائمه مشترک، اگر زاویه تندشان متفاوت باشد، متشابه نیستند. پس یک زاویه هرگز کافی نیست.
خطاهای رایج در تشخیص اضلاع نظیر
هنگام استفاده از تشابه زاویه-زاویه، دانشآموزان اغلب در تشخیص اینکه کدام ضلع در مثلث بزرگتر نظیر کدام ضلع در مثلث کوچکتر است، اشتباه میکنند. قانون ساده: ضلع مقابل به زاویههای برابر، نظیر هم هستند. اگر $\angle A = \angle D$، آنگاه ضلع $BC$ (مقابل A) نظیر ضلع $EF$ (مقابل D) است. با این روش به راحتی تناسب را مینویسید و از اشتباه جلوگیری میکنید.
پاورقی
[1]متشابه (Similar): در هندسه، به دو شکل گفته میشود که از نظر شکل کاملاً یکسان باشند اما اندازهشان متفاوت باشد. یکی بزرگشدۀ (یا کوچکشدۀ) دیگری است.
[2]نظیر (Corresponding): به عناصری از دو شکل متشابه گفته میشود که در یک موقعیت نسبی قرار دارند. مثلاً ضلعی که روبروی زاویۀ $A$ قرار دارد، نظیر ضلع روبروی زاویۀ $D$ در مثلث دیگر است.
[3]تناسب (Proportion): به رابطهای گفته میشود که در آن نسبت طول اضلاع نظیر در دو شکل متشابه مقدار ثابتی است. مثلاً اگر $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = k$، آنگاه $k$ را نسبت تشابه مینامند.
