کتانژانت زاویه: نسبت مجاور به مقابل
تعریف کتانژانت در مثلث قائمالزاویه
در یک مثلث قائمالزاویه، برای یک زاویهی حاده مانند A، کتانژانت آن (که با نماد cot A نشان داده میشود) به صورت زیر تعریف میگردد:
$ \cot A = \frac{\text{طول ضلع مجاور زاویه A}}{\text{طول ضلع مقابل زاویه A}} $به عبارت دیگر، اگر اضلاع مثلث قائمالزاویه را مطابق شکل (که در اینجا ترسیم نشده) در نظر بگیریم، برای زاویهی A که وترhypotenuse مقابل آن نیست، ضلع مجاور، ضلعی است که آن زاویه را تشکیل میدهد ولی وتر نیست و ضلع مقابل، ضلعی است که روبهروی آن زاویه قرار دارد. بنابراین، کتانژانت معکوس تانژانت است: $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $.
فرمولهای بنیادی و ارتباط با سایر نسبتها
کتانژانت علاوه بر تعریف هندسی، با سایر نسبتهای مثلثاتی روابط ریاضی مشخصی دارد که درک عمیقتری از آن ارائه میدهد. مهمترین این روابط عبارتند از:
- رابطه با تانژانت:$ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} $ (به شرطی که $ \tan \theta \neq 0 $).
- رابطه با سینوس و کسینوس:$ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $.
- اتحاد فیثاغورثی:$ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta $ که در آن $ \csc \theta $ همان کسکانتcosecant (معکوس سینوس) است.
این روابط به ما اجازه میدهند تا در صورت داشتن مقدار یکی از نسبتهای مثلثاتی، مقادیر دیگر را محاسبه کنیم. برای مثال، اگر $ \sin \theta = \frac{1}{2} $ و $ \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $، آنگاه $ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} $.
جدول مقادیر کتانژانت برای زوایای پرکاربرد
برای زوایای معروف در مثلثات، مقادیر کتانژانت از پیش تعیین شده است. این مقادیر در حل مسائل گوناگون بسیار مفید هستند.
| زاویه (درجه) | زاویه (رادیان) | cot θ | توضیح |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | تعریفنشده | میل به بینهایت |
| 30° | π/6 | √3 ≈ 1.732 | |
| 45° | π/4 | 1 | |
| 60° | π/3 | 1/√3 ≈ 0.577 | |
| 90° | π/2 | 0 |
کاربرد عملی کتانژانت در زندگی روزمره و علوم
مفهوم کتانژانت صرفاً یک انتزاع ریاضی نیست و در موقعیتهای عملی زیادی به کار میآید. برای نمونه:
- محاسبه شیب و زاویه: در نقشهبرداری و معماری، اگر شیب یک خط یا سطح (که برابر تانژانت زاویه است) معلوم باشد، کتانژانت آن شیب به راحتی قابل محاسبه بوده و در تعیین زاویههای تکمیلی کاربرد دارد.
- فیزیک و بردارها: در تجزیه بردارها به مؤلفههای افقی و عمودی، گاهی اوقات استفاده از کتانژانت محاسبات را سادهتر میکند. برای مثال، اگر زاویهی یک بردار با محور افقی داده شده باشد، کتانژانت این زاویه برابر است با نسبت مؤلفهی افقی به مؤلفهی عمودی بردار.
- مثلثبندی در نجوم و جغرافیا: برای محاسبه فاصلهها یا ارتفاع اجرام دور، از روشهای مثلثاتی استفاده میشود که در آنها کتانژانت نقش دارد. فرض کنید میخواهیم ارتفاع یک کوه را با اندازهگیری زاویه از دو نقطهی متفاوت محاسبه کنیم؛ در این محاسبات معادلاتی ظاهر میشوند که شامل کتانژانت هستند.
یک مثال عینی: فرض کنید یک نردبان به طول $ 5 $ متر به دیواری تکیه داده شده است و زاویهی بین نردبان و زمین $ 60^\circ $ است. فاصلهی پایهی نردبان از دیوار (ضلع مجاور زاویهی $ 60^\circ $) را میتوانیم با کمک کتانژانت به دست آوریم. میدانیم $ \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 $. ارتفاع دیوار (ضلع مقابل) برابر $ 5 \sin 60^\circ = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.33 $ متر است. پس فاصله از دیوار برابر $ \cot 60^\circ \times \text{ارتفاع} = 0.577 \times 4.33 \approx 2.5 $ متر خواهد بود (که با $ 5 \cos 60^\circ = 2.5 $ نیز همخوانی دارد).
چالشهای مفهومی
۱. چرا کتانژانت زاویهی ۰ درجه تعریفنشده است؟
در زاویهی ۰ درجه، ضلع مقابل آن (در مثلث قائمالزاویهای که به یک خط تبدیل میشود) طولی برابر صفر دارد. از آنجایی که کتانژانت نسبت «مجاور به مقابل» است، مخرج کسر (ضلع مقابل) صفر میشود و در نتیجه مقدار آن به سمت بینهایت میل کرده و تعریفنشده است.
۲. آیا کتانژانت یک زاویه میتواند منفی شود؟
بله. اگر زاویه در ربع دوم (بین ۹۰ تا ۱۸۰ درجه) یا ربع چهارم (بین ۲۷۰ تا ۳۶۰ درجه) قرار داشته باشد، بسته به علامت سینوس و کسینوس، کتانژانت (که برابر $ \cos / \sin $ است) میتواند مقدار منفی پیدا کند. برای مثال، $ \cot 120^\circ = \frac{\cos 120^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{-1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $.
۳. شکل نمودار تابع $ y = \cot x $ چگونه است و چه ویژگیهایی دارد؟
نمودار کتانژانت شامل شاخههایی است که در نقاط $ x = n\pi $ (که n عدد صحیح است) به خطهای قائم مجانبasymptote دارد (چون سینوس صفر میشود و کتانژانت تعریفنشده است). این تابع در هر بازهی $ (0, \pi) $ نزولی است و مقدار آن از $ +\infty $ به $ -\infty $ کاهش مییابد. تابع کتانژانت یک تابع فرد است، یعنی $ \cot(-x) = -\cot x $.
پاورقیها
1وتر (hypotenuse): بزرگترین ضلع در مثلث قائمالزاویه که روبروی زاویهی قائمه (۹۰ درجه) قرار دارد.
2کسکانت (cosecant): یکی از نسبتهای مثلثاتی و معکوس سینوس یک زاویه است. $ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} $.
3مجانب (asymptote): خط یا منحنی است که نمودار یک تابع به آن نزدیک و نزدیکتر میشود، اما هرگز به آن نمیرسد (یا در بینهایت به آن میرسد). در نمودار کتانژانت، خطوط قائم مجانب هستند.